Давление вблизи затопленного отверстия?

Предположим, я закупориваю пустую бутылку из-под вина в газообразном воздухе при давлении в 1 атмосферу. Затем я погружаю бутылку в столб жидкости, как показано слева на рисунке ниже. Давление в точке «p», обозначаемое как$p_1$, намного больше, чем давление в винной бутылке; винная бутылка держит воздух внутри под давлением в 1 атмосферу. (Так$p_1>>p_2$). Точка "p" - это "маленькое" расстояние$(\Delta x)$вдали от горлышка/пробки бутылки. Отверстие бутылки круглое с радиусом$r_d$. Если бы я мог мгновенно вынуть пробку из$t_o$,

1. Как изменится со временем давление в точке p, пока система не придет в равновесие (при$t_f$)?

2. Как можно оценить изменяющееся давление в точке p как функцию времени? (от самых простых моделей до более сложных моделей)

Изменить 1

Первоначально я думаю, что проблема может быть проанализирована с использованием некоторой формы уравнения энергетического (или механического) баланса (где жидкость в столбе жидкости можно считать несжимаемой, слегка сжимаемой или сжимаемой), некоторой формы уравнения сопла или отверстия и идеального или закон о реальном газе.

В настоящее время я представляю давление в точке «p», чтобы отреагировать, как показано на изображении ниже:

Редактировать 2

Я сделал попытку, основываясь на ответе @ChesterMiller, но использовал более упрощенный подход. Я хотел бы описать, что я сделал, и показать свои результаты. В свою очередь, я хотел бы попросить критики в отношении того, что я сделал, и как я могу улучшить физическую модель.

Я заново представил физическую настройку системы, как показано в левой части рисунка ниже. На рисунке отмечены свойства столба жидкости и газового баллона.

Давление непосредственно перед отверстием при неповрежденном уплотнении рассчитывалось как

$$\tag{1} p_2=p_3+\rho_2 g z_2$$

Масса и моли газа, запечатанного в бутылке, рассчитывались по закону идеального газа, где

$$\tag{2} pV=nRT$$ $$\tag{3} n=m/M_w$$

Так$m=0.911$кг и$n=0.03253$кмоль.

Правая часть изображения ниже показывает, как предполагалось, что жидкость входит в газовый баллон и занимает его. Предполагалось, что газ останется в бутылке (как показано на предыдущем изображении выше) и будет сжиматься по мере того, как бутылка наполняется жидкостью. Предполагается, что высота столба жидкости остается постоянной, а скорость жидкости в верхней части столба ($\vec v_3$) считается равным нулю (0 м/с).

Для начала я вычислил скорость жидкости, поступающей в бутылку в тот момент, когда пломба была сломана.$t=0$с. Я предположил давление прямо перед отверстием,$p_2$, мгновенно уменьшилось до атмосферного давления газа, 101,325 кПа, которое представляет собой давление непосредственно внутри бутылки на другой стороне отверстия. Скорость жидкости рассчитывали по уравнению Бернулли,

$$\tag{4} p_3+0.5\rho_3 \vec v_3^2+\rho_3gh_3=p_{2,new}+0.5\rho_2 \vec v_{2,new}^2+\rho_2gh_2$$

Объемный расход рассчитывали как

$$\tag{5} Q=\vec v_{2,new}A_{orifice}$$ где$A_{orifice}=\pi (0.1 m)^2 /4 = 0.007853.. m^2$

С этого момента я выбрал приращение времени$\Delta t = 0.07 s$(методом проб и ошибок), а затем итеративно выполнил следующие 7 шагов расчета:

1. Рассчитайте объем жидкости, поступившей в бутылку:$V_{l,enter}=Q*\Delta t$.

2. Рассчитаем новый объем сжатого газа:$V_{g,new}=V_{g,old}-V_{l,enter}$.

3. Рассчитайте новое давление сжатого газа:$p_{g,new}=\frac{nRT}{V_{g,new}}$.

4. Установите давление непосредственно перед отверстием,$p_2$, равное новому давлению сжатого газа.

5. Используйте уравнение Бернулли, чтобы вычислить новую скорость входящей жидкости,$v_{2,new}$, исходя из нового выходного давления,$p_2$(или$p_{g,new}$).

6. Рассчитайте новый объемный расход:$Q=\vec v_{2,new}A_{orifice}$

7. Вернитесь к шагу 1.

   Следуя этой процедуре, я обнаружил, что давление непосредственно перед отверстием изменяется во времени, как показано на графике ниже:

Если есть какие-либо ошибочные шаги, предпринятые выше, каковы они? Как я могу улучшить эту модель?

Редактировать 3

Предвидя сходящийся полусферический поток прямо перед отверстием, см. изображение ниже, я попытался рассчитать давление в столбе жидкости по мере заполнения газового баллона с течением времени.

Использовалась следующая методика расчета:

1. Рассчитайте скорость жидкости через отверстие при t=0 с, используя Бернулли (уравнение (4)), приняв$p_2=p_g$в тот момент, когда печать сломана.
2. Рассчитайте объемный расход, поступающий в газовый баллон, используя скорость жидкости через отверстие и площадь отверстия (уравнение (5)).
3. Рассчитать скорость жидкости на различных расстояниях$R$над отверстием, используя Бернулли, предполагая сходящийся полусферический поток. Площади поверхности полушарий вычислялись как $$\tag{6} A_{hemi}=2\pi R^2$$ и скорости на каждом$R$были рассчитаны как$\vec v_R=Q/A_{hemi}$.
4. Вычислите скорость жидкости в верхней части столба жидкости,$\vec v_{3,new}$, где предполагается линейный поток.
5. Рассчитать давление на различных расстояниях$R$над отверстием с использованием уравнения Бернулли и с использованием вновь рассчитанных переменных:$\vec v_{3,new}$и$\vec v_R$, а потенциальная энергия при$R$($=\rho g R$).
6. Установить дискретное приращение времени$\Delta t$.
7. Рассчитайте объем жидкости, попавшей в газовый баллон.
8. Рассчитайте объем вновь сжатого газа.
9. Рассчитайте давление свежесжатого газа.
10. Установите давление на отверстии равным давлению только что сжатого газа.
11. Используя Бернулли, рассчитайте скорость жидкости в новом отверстии, используя давление свежесжатого газа в качестве давления на выходе, и включите скорость жидкости в верхней части столба жидкости. (Предположим, что давление в верхней части столба жидкости постоянно).
12. Вернитесь к шагу 2.

Ниже приведены два графика результатов только что описанных вычислений. Верхний график показывает давление, а нижний график показывает скорость жидкости в системе как функцию времени.

Эти графики/расчеты показывают, что давление на один диаметр отверстия (R=0,10 м) над отверстием, по существу, является давлением, которое можно рассчитать для статических условий. Только значительное падение давления происходит на половине диаметра отверстия (R=0,05 м) над отверстием.

Я заметил, что изменение диаметра отверстия не меняет скорость жидкости, а скорее объемный расход и, следовательно, время заполнения газового баллона. Этот результат был немного неожиданным, и мне интересно, является ли это артефактом одного или нескольких предположений, которые я сделал до этого момента.

Опять же, я хотел бы попросить критики в отношении того, что я сделал, и как я могу улучшить физическую модель.