Дифференциальное уравнение для ангармонического осциллятора

Question

Дифференциальное уравнение для ангармонического осциллятора

Физика
нелинейные системы
ньютоновская механика
ангармонические осцилляторы
дифференциальные уравнения
домашнее задание и упражнения

Эяль Басс

В моем проекте я и мой партнер использовали движок для ограничения системы, чтобы мы могли видеть ангармонические колебания. В нашем первом анализе мы получаем только нечетные степени в дифференциальном уравнении, поэтому должны быть только нечетные гармонические колебания ( $\omega$ , $3\omega$ и т. д.). Но в реальных данных мы также получаем колебания второй гармоники ( $2\omega$ ). Итак, мы думаем, что если мы можем составить ряд Тейлора о равновесии, а не о нуле, мы можем получить в уравнении второй порядок (уравнение ниже) $x$ так что будет вторая гармония.

На картинке вы видите систему: на полу стоит двигатель, который перемещает вес. $l_0$ начальная длина пружин, $l_{02}$ начальная длина пружины, $\Delta$ $l$ изменение длины пружины вверх, $k_1$ - постоянная обоих восходящих пружин, $k_2$ - постоянная пружины, соединяющей систему с двигателем, $a$ расстояние между дорожкой и колоннами, $x$ наша координата, $x_e$ - координата пружины двигателя.

{Икс}_{е} (т) "=" А грех (ю т)

$x_e(t)=A\sin(\omega t)$

л (т) "=" \sqrt{{Икс}^{2} + а^{2}}

$l(t)=\sqrt{x^2+a^2}$

Δ л "=" л (т) - л_{0} "=" \sqrt{{Икс}^{2} + а^{2}} - л_{0}

$\Delta l = l(t)-l_0 = \sqrt{x^2+a^2} - l_0$

Ф_{к 1} "=" - к_{1} Δ л грех (θ); грех (θ) "=" \frac{Икс}{\sqrt{{Икс}^{2} + а^{2}}}

$F_{k1} = -k_1\Delta l \sin(\theta);\ \sin(\theta)=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$

Ф_{к 2} "=" к_{2} (Икс - {Икс}_{е} + л_{02})

$F_{k2} = k_2(x-x_e+l_{02})$ Итак, уравнение:

м \ddot{Икс} "=" 2 Ф_{к 1} - Ф_{к 2} - м г

$m\ddot{x}=2F_{k1}-F_{k2}-mg$ Определим новые константы:

ю_{1} "=" \sqrt{\frac{2 к_{1}}{м}}; ю_{2} "=" \sqrt{\frac{к_{2}}{м}}

$\omega _1=\sqrt\frac {2k_1}{m};\ \omega _2=\sqrt\frac {k_2}{m}$ Итак, у нас есть:

\ddot{Икс} + ю_{1}^{2} Икс (1 - \frac{л_{0}}{\sqrt{{Икс}^{2} + а^{2}}}) + ю_{2}^{2} Икс "=" - ю_{2}^{2} (л_{02} - {Икс}_{е}) - г

$\ddot{x}+\omega _1 ^2 x(1-\frac{l_0}{\sqrt{x^2+a^2}})+ \omega _2 ^2 x=- \omega _2 ^2 (l_{02}-x_e)-g$ Как видите, если мы делаем сериал о Тейлоре

0

$0$ для квадратного корня мы можем получить только четные степени, так как

x^{2}

$x^2$ находится под корнем. Итак, если мы произведем его с

x

$x$ , мы получаем нечетные степени. Поэтому не должно быть даже гармонических колебаний. Если мы возьмем

\ddot{x} = 0

$\ddot x=0$ чтобы найти равновесие (я), мы получаем уравнение, которое после некоторой математики приобретает вид 4-го порядка:

(ю_{1}^{2} + ю_{2}^{2}) {Икс}^{4} + 2 (ю_{1}^{2} + ю_{2}^{2}) [г + ю_{2}^{2} ({Икс}_{е} - л_{02})] {Икс}^{3} + [(ю_{1}^{2} + ю_{2}^{2}) а^{2} + [г + ю_{2}^{2} ({Икс}_{е} - л_{02})]^{2} - л_{0}^{2} ю_{1}^{2}] {Икс}^{2} + 2 (ю_{1}^{2} + ю_{2}^{2}) [г + ю_{2}^{2} ({Икс}_{е} - л_{02})] а^{2} Икс + [г + ю_{2}^{2} ({Икс}_{е} - л_{02})]^{2} "=" 0

$(\omega _1 ^2 +\omega _2 ^2)x^4 +2(\omega _1 ^2 +\omega _2 ^2)[g+ \omega _2 ^2 (x_e-l_{02})]x^3+ [(\omega _1 ^2 +\omega _2 ^2)a^2+[g+ \omega _2 ^2 (x_e-l_{02})]^2-l_0 ^2 \omega _1 ^2]x^2+ 2(\omega _1 ^2 +\omega _2 ^2)[g+ \omega _2 ^2 (x_e-l_{02})]a^2 x +[g+ \omega _2 ^2 (x_e-l_{02})]^2=0$

Я использую Matlab, чтобы найти корни этого уравнения, и у меня есть 4 корня. Каждое из них занимает 37 страниц формата А4 Word в формате Arial 12. Трудно работать с этими решениями и понять, какое из них является нужным нам балансом. Есть ли другой способ найти равновесие? Или есть другой способ, которым мы можем найти, как второй порядок $x$ входит в уравнение?

Ответы (1)

Дифференциальное уравнение для ангармонического осциллятора

Эли · Answer 1

возможно, это поможет вам?

вы хотите найти x (равновесие), удовлетворяющее этому уравнению.

\begin{matrix} (1) & ф (Икс) "=" ю_{1} Икс (1 - \frac{л_{0}}{\sqrt{{Икс}^{2} + а^{2}}}) + {ю_{2}}^{2} Икс + {ю_{2}}^{2} (л_{2} - {Икс}_{Е}) + г "=" 0 \end{matrix}

$f(x)=\omega_{{1}}x \left( 1-{\frac {l_{{0}}}{\sqrt {{x}^{2}+{a}^{2}}}} \right) +{\omega_{{2}}}^{2}x+{\omega_{{2}}}^{2} \left( l_{{2}}-x_{{E} } \right) +g=0\tag 1$

сначала возьмем ряд Тейлора

\frac{л_{0}}{\sqrt{{Икс}^{2} + а^{2}}} \approx \frac{л_{0}}{\sqrt{а^{2}}} - \frac{1}{2} \frac{л_{0} {Икс}^{2}}{\sqrt{а^{2}} а^{2}}

${\frac {l_{{0}}}{\sqrt {{x}^{2}+{a}^{2}}}}\approx{\frac {l_{{0}}}{\sqrt {{a}^{2}}}}-\frac 12\,{\frac {l_{{0}}{x}^{2}}{\sqrt {{a}^{2}}{a}^{2}}}$

поместите его в уравнение (1)

\begin{matrix} (2) & ф (Икс) \mapsto а_{0} + а_{1} Икс + а_{3} {Икс}^{3} "=" 0 \end{matrix}

$f(x)\mapsto a_0+a_1\,x+a_3\,x^3=0\tag 2$

с:

а_{0} "=" {ю_{2}}^{2} (л_{2} - {Икс}_{Е}) + г

$a_0={\omega_{{2}}}^{2} \left( l_{{2}}-x_{{E}} \right) +g$

а_{1} "=" ю_{1} (1 - \frac{л_{0}}{\sqrt{а^{2}}}) + {ю_{2}}^{2}

$a_1=\omega_{{1}} \left( 1-{\frac {l_{{0}}}{\sqrt {{a}^{2}}}} \right) +{ \omega_{{2}}}^{2}$

а_{3} "=" 1 / 2 \frac{ю_{1} л_{0}}{\sqrt{а^{2}} а^{2}}

$a_3=1/2\,{\frac {\omega_{{1}}l_{{0}}}{\sqrt {{a}^{2}}{a}^{2}}}$

у вас есть три решения уравнения. (2) но только один является реальной ценностью

\begin{matrix} (3) & {Икс}_{настоящий} "=" \frac{1}{6} \sqrt[3]{(- 108 а_{0} + 12 \sqrt{3} \sqrt{\frac{4 {а_{1}}^{3} + 27 {а_{0}}^{2} а_{3}}{а_{3}}}) {а_{3}}^{2}} {а_{3}}^{- 1} - 2 а_{1} \frac{1}{\sqrt[3]{(- 108 а_{0} + 12 \sqrt{3} \sqrt{\frac{4 {а_{1}}^{3} + 27 {а_{0}}^{2} а_{3}}{а_{3}}}) {а_{3}}^{2}}} \end{matrix}

$x_{\text{real}}= \frac 16\,\sqrt [3]{ \left( -108\,{\it a_0}+12\,\sqrt {3}\sqrt {{\frac {4\,{ {\it a_1}}^{3}+27\,{{\it a_0}}^{2}{\it a_3}}{{\it a_3}}}} \right) {{\it a_3 }}^{2}}{{\it a_3}}^{-1}-2\,{\it a_1}{\frac {1}{\sqrt [3]{ \left( -108\,{ \it a_0}+12\,\sqrt {3}\sqrt {{\frac {4\,{{\it a_1}}^{3}+27\,{{\it a_0}}^{ 2}{\it a_3}}{{\it a_3}}}} \right) {{\it a_3}}^{2}}}} \tag 3$

чтобы подтвердить решение уравнения. (3) я помещаю некоторые данные

$[\omega_{{1}}=10,\omega_{{2}}=2,g=10,l_{{0}}= 0.9,l_{{2}}= 0.3,x_{{E}} = 2.5,a=3] ~$ и получил $x_\text{real}=-0.109~$ если вы используете эти данные, чтобы найти решение уравнения. (1) вы получаете тот же результат, поэтому в списке для этих данных анзац правильный.

Я использую MAPLE для получения символических результатов.

Дифференциальное уравнение для ангармонического осциллятора

Эяль Басс

Ответы (1)

Эли

Эяль Басс

Нелинейная пружина F=−kx3F=−kx3F=-kx^3

Нахождение устойчивости по собственным значениям двух ДУ второго порядка

Период TTT колебаний с кубической силовой функцией

Показать, что большая амплитуда физического маятника означает больший период

Колебательное движение без SHM

Дифференциальное уравнение неравномерного движения по окружности

Замедляет ли когда-нибудь сопротивление воздуха частицу до нулевой скорости?

Предложения нелинейного примера для небольшого исследовательского проекта по численному решению ОДУ?

Эквивалентная длина простого маятника

Что происходит в автокатастрофе?