Нелинейная пружина F=−kx3F=−kx3F=-kx^3

Потенциальная энергия$U\left(x\right) = kx^4/4$с$-d/dx\left(kx^4/4\right) = -kx^3 = F$, а энергия

$$E = \frac{1}{2}m\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \frac{1}{4}kx^4$$ сохраняется.

Из вышесказанного можно показать, что

$$\begin{eqnarray} dt &=& \pm \ dx \sqrt{\frac{m}{2E}}\left(1-\frac{k}{4E}x^4\right)^{-1/2} \\ &=& \pm \ dx \sqrt{\frac{2m}{k}} \ A^{-2} \left[1-\left(\frac{x}{A}\right)^4\right]^{-1/2} \end{eqnarray}$$ где амплитуда $A = \left(4E / k\right)^{1/4}$можно узнать из настройки $dx/dt = 0$в выражении для энергии и решении для $x$.

Затем период

$$\begin{eqnarray} T &=& 4 \sqrt{\frac{2m}{k}} \ A^{-2} \int_0^A dx \left[1-\left(\frac{x}{A}\right)^4\right]^{-1/2} \\ &=& 4 \sqrt{\frac{2m}{k}} \ A^{-1} \int_0^1 du \left(1-u^4\right)^{-1/2} \\ &=& \left(4 \sqrt{\frac{2m}{k}} I\right) A^{-1} \\ &\propto& A^{-1} \end{eqnarray}$$ где $u = x/A$и $I = \int_0^1 du \left(1-u^4\right)^{-1/2} \approx 1.31$(см. это ).

Вы можете повторить вышеизложенное для более общей потенциальной энергии.$U\left(x\right) = \alpha \left|x\right|^n$, где вы должны найти это

$$dt = \pm \ dx \sqrt{\frac{m}{2\alpha}} \ A^{-n/2} \left[1-\left(\frac{\left|x\right|}{A}\right)^n\right]^{-1/2}$$

и

$$\begin{eqnarray} T_n &=& \left(4 \sqrt{\frac{m}{2\alpha}} I_n\right) A^{1-n/2} \\ &\propto& A^{1-n/2} \end{eqnarray}$$

где

$$I_n = \int_0^1 du \left(1-u^n\right)^{-1/2}$$

можно оценить с точки зрения гамма-функций (см. это ).

Это согласуется с вышеизложенным для$\alpha = k/4$и$n=4$, и с проблемой механики Ландау и Лифшица 2а раздела 12 (стр. 27), где они находят, что$T_n \propto E^{1/n-1/2} \propto A^{1-n/2}$.

Вы можете использовать анализ измерений, чтобы получить взаимосвязь между периодом времени (T) и амплитудой (A).

$$F=-kx^3$$

$$MLT^{-2} = K L^3$$

Это будет означать, что$T^{-2}\propto L^2$то есть$TL=$Постоянный

$T$обратно пропорциональна$L$

$L$также можно принять за амплитуду.