Доказательство калибровочной инвариантности уравнения Шредингера

Я пытаюсь явно доказать, что уравнение Шредингера:

$$i\hbar \partial_t \psi = \left[ -\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{i}\nabla-q\vec{A}\right)^2+qV \right]\psi$$

остается прежним при следующем калибровочном преобразовании:

$$\psi \rightarrow e^{iq\Lambda/\hbar} \psi$$ $$\vec{A} \rightarrow \vec{A} + \nabla \Lambda$$ $$V \rightarrow V - \partial_t\Lambda$$

где$\partial_t$обозначает оператор производной по времени.

Однако у меня проблемы с алгеброй, поэтому я покажу свою процедуру в надежде, что кто-нибудь укажет на ошибку:

Левая часть уравнения

$$i\hbar \partial_t (e^{iq\Lambda/\hbar}\psi) = ih \left(e^{iq\Lambda/\hbar} \partial_t\psi+\frac{iq}{\hbar}e^{iq\Lambda/\hbar} \psi \partial_t\Lambda \right) = ihe^{iq\Lambda/\hbar} \partial_t\psi-qe^{iq\Lambda/\hbar} \psi \partial_t\Lambda$$

Правая часть уравнения

$$\left[ \frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{i}\nabla-q(\vec{A} + \nabla \Lambda)\right)^2+q(V - \partial_t\Lambda) \right]=$$ $$\frac{1}{2m} \left[ -\hbar^2\nabla^2-\frac{q\hbar}{i}( \nabla \cdot\vec{A} + \nabla^2\Lambda+ \vec{A} \cdot \nabla + \nabla \Lambda \cdot \nabla) + q^2[\vec{A}^2+2(\vec{A}\cdot \nabla \Lambda) + (\nabla \Lambda )^2]\right] e^{iq\Lambda/\hbar} \psi +qV e^{iq\Lambda/\hbar} \psi -qe^{iq\Lambda/\hbar} \psi \partial_t\Lambda$$

Можно заметить, что последние члены в обеих частях (правой и левой) сокращают друг друга. Затем, используя:

$\nabla ( e^{iq\Lambda/\hbar} \psi ) = e^{iq\Lambda/\hbar}\nabla\psi + \frac{iq}{h} \psi \nabla \Lambda$

$\nabla^2 ( e^{iq\Lambda/\hbar} \psi ) =e^{iq\Lambda/\hbar} \nabla^2\psi + \frac{2iq}{\hbar}e^{iq\Lambda/\hbar}(\nabla \Lambda)(\nabla \psi) + \psi \frac{iq}{\hbar} e^{iq\Lambda/\hbar} \nabla^2 \Lambda - \frac{q^2}{\hbar^2}\psi e^{iq\Lambda/\hbar} (\nabla \Lambda)^2$

то получаем (применяя операторы и отменяя все$e^{iq\Lambda/\hbar}$):

$$i\hbar \partial_t \psi= \frac{1}{2m} \left[ -\hbar^2 \nabla^2 \psi - 2iqh(\nabla \Lambda)(\nabla \psi)-iq\hbar \psi \nabla^2\Lambda + q^2\psi(\nabla \Lambda)^2 + iq\hbar (\nabla \cdot \vec{A})\psi + iq\hbar\nabla^2\Lambda \psi +iq\hbar (\vec{A}\cdot \nabla\psi) - q^2 \psi (\vec{A}\cdot \nabla \Lambda )+iq\hbar (\nabla \Lambda)(\nabla \psi) - q^2\psi (\nabla\Lambda)^2+q^2\vec{A}^2+2q^2(\vec{A}\cdot \nabla \Lambda)\psi +q^2(\nabla \Lambda)^2 \psi \right] + qV\psi$$

отменив некоторые термины и переставив:

$$i\hbar \partial_t \psi= \frac{1}{2m} \left[ -\hbar^2 \nabla^2 \psi + iq\hbar (\nabla \cdot \vec{A})\psi +iq\hbar (\vec{A}\cdot \nabla\psi)+q^2\vec{A}^2 - 2iqh(\nabla \Lambda)(\nabla \psi) + q^2\psi(\nabla \Lambda)^2- q^2 \psi (\vec{A}\cdot \nabla \Lambda )+iq\hbar (\nabla \Lambda)(\nabla \psi) +2q^2(\vec{A}\cdot \nabla \Lambda)\psi \right] + qV\psi$$

после повторного заказа:

$$i\hbar \partial_t \psi= \frac{1}{2m} \left[ \left(\frac{\hbar}{i}\nabla-q\vec{A}\right)^2 \right] +qV\psi + \frac{1}{2m} \left[ - iqh(\nabla \Lambda)(\nabla \psi) + q^2\psi(\nabla \Lambda)^2 + q^2(\vec{A}\cdot \nabla \Lambda)\psi \right]$$

Можно заметить, что исходное уравнение Шредингера находится там, но с дополнительной частью в правой части эта дополнительная часть выглядит следующим образом:

$$\frac{1}{2m} \left[ - iqh(\nabla \Lambda)(\nabla \psi) + q^2\psi(\nabla \Lambda)^2 + q^2(\vec{A}\cdot \nabla \Lambda)\psi \right]$$

Так что мне интересно, эта дополнительная часть как-то равна 0, или я ошибаюсь. Также я не знаю, как сделать алгебру «более приятной» для понимания, если я могу что-то сделать, пожалуйста, прокомментируйте.