Я работал над Шанкаром 8.6.4, который касается получения в одном измерении оператора Гамильтона заряженной частицы из формулировки интеграла по путям.
Во-первых, я получаю пропагатор за временной интервал.ϵ
, который
U( х , е ;Икс′) =м2 πя ℏϵ−−−−−√опыт(яℏ(мη22 ϵ−дηсА ( х + α η, 0 ) − ϵ qϕ ( х + α η, 0 ) ) )
гдеη"="Икс′− х
,А
- векторный потенциал, аф
скалярный потенциал.
Затем я получаю выражение для временной эволюции начального волнового состояния во временном интервале:
ψ ( Икс , ϵ )"="∫∞− ∞U( х , е ;Икс′) ф (Икс′, 0 )гИкс′"="м2 πя ℏϵ−−−−−√∫∞− ∞опыт(яℏ(мη22 ϵ−дηсА ( х + α η, 0 ) − ϵ qϕ ( х + α η, 0 ) ) ) ψ(x+η, 0 )гη
Я развожу следующие выражения в ряды:
опыт( -я кηℏсА ( х + α η, 0 ) )= 1 -я кηℏсА ( х + α η, 0 ) −12(дηℏсА ( х + α η, 0 ) )2+ ⋯= 1 -я кηℏсА ( Икс , 0 ) + ( -12(дℏсА ( х , 0 ) )2−я αq _ℏс∂А ( х , 0 )∂Икс)η2+ ⋯
опыт( -я ϵ qℏϕ ( х + α η, 0 ) )= 1 -я ϵ qℏϕ ( х + α η, 0 ) + ⋯= 1 -я ϵ qℏϕ ( Икс , 0 ) + ⋯
ψ ( х + η, 0 )= ψ ( Икс , 0 ) + η∂ψ ( х , 0 )∂Икс+η22∂2ψ ( х , 0 )∂Икс2+ ⋯
Волновое состояние после временного интервала
ψ ( Икс , ϵ ) знак равно"=""=""="м2 πя ℏϵ−−−−−√∫∞− ∞опыт( -мη22 я ℏϵ)⋅ опыт( -я кηℏсА ( х + α η, 0 ) ) ехр( -я ϵ qℏϕ ( х + α η, 0 ) ) ψ ( x + η, 0 )гηм2 πя ℏϵ−−−−−√∫∞− ∞опыт( -мη22 я ℏϵ)⋅ ( ( 1 -я ϵ qфИксℏ)ψИкс+η2( -12(дАИксℏс)2ψИкс−я αq _ℏс∂АИкс∂ИксψИкс−я кℏсАИкс∂ψИкс∂Икс+12∂2ψИкс∂Икс2) )гη( 1 -я ϵ qфИксℏ)ψИкс+ (я ϵ ℏм) ( -12(дАИксℏс)2ψИкс−я αq _ℏс∂АИкс∂ИксψИкс−я кℏсАИкс∂ψИкс∂Икс+12∂2ψИкс∂Икс2)ψИкс−я ϵℏ( qфИкс+12 м(дАИксс)2+я ℏαq _м с∂АИкс∂Икс+я ℏдм сАИкс∂∂Икс−ℏ22 м∂2∂Икс2)ψИкс
где для полей и состоянийюИксзнак равно ω ( Икс , 0 )
.
Согласно вышеизложенному,
я ℏ| ψ ⟩˙= ( дф +12 м(дАс)2−αq _м спА —дм сА П+п22 м) | ψ ⟩
но после средней точки рецептаα =12
, гамильтониан должен быть
дф +12 м(дАс)2−д2 м спА —д2 м сА П+п22 м
Что случилось с коэффициентомА П
?
Том Хайнцль