Доказательство x¨=w−2x+x2x¨=w−2x+x2\ddot x = w-2x+x^2, где w≥0w≥0w\ge0, сохраняет энергию

В курсах физики мы обычно используем следующий прием: умножить$\ddot x = w-2x+x^2$к$\dot x$чтобы получить

$$\dot x \ddot x = (w-2x+x^2)\dot x \ \ \Rightarrow \ \ \frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}\dot x^2 \right) = \frac{d}{dt} \left( wx-x^2+\frac{1}{3}x^3 \right)$$ Следовательно, $$\frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}\dot x^2 - wx+x^2-\frac{1}{3}x^3 \right) = 0$$ из которого мы находим $$E = \frac{1}{2}\dot x^2 - wx+x^2-\frac{1}{3}x^3$$ есть постоянная движения. Назовите это энергией, если хотите.

Выражение$F(x) = w-2x+x^2$не энергия, а «сила», действующая на частицу (при условии, что масса равна единице), в зависимости от ее положения в$x$оси (вспомните второй закон Ньютона).

По определению потенциальная энергия равна$V(x) = - \int F(x)dx = \int(2x-x^2-w)dx = x^2 - \dfrac{x^3}{3} - wx$(постоянная интегрирования значения не имеет).

Теперь, с другой стороны, если$v = \dfrac{dx}{dt}$- скорость частицы, уравнение говорит, что:

$$\frac{dv}{dt} = -\frac{dV}{dx }$$

$$\frac{dv}{dt}dx = -dV$$

$$\frac{dx}{dt}dv = -dV$$

$$vdv = -dV$$

$$vdv + dV = 0$$

$$d\left(\frac{v^2}{2} + V\right) = 0$$

Что подразумевает, что$\frac{v^2}{2} + V(x)$, то есть полная энергия (кинетическая плюс потенциальная) постоянна вдоль движения. Это стандартный вывод сохранения энергии, и он действителен, когда сила является функцией только положения (а не скорости или времени).