Дробное изменение плотности

Ваш анализ не ошибается. Обратите внимание, что общее определение коэффициента расширения:$\beta \equiv \frac{1}{V} \frac{dV}{dT}$; поэтому, когда вы пишете это как$\beta \simeq \frac{1}{V} \frac{\Delta V}{\Delta T}$, вы неявно предполагаете, что изменение температуры$\Delta T$, и поэтому$\Delta V/V$маленький${}^*$.

Имея это в виду, используя$\Delta V = \beta V \Delta T$, ваше окончательное уравнение можно переписать как:

$$\frac{\Delta \rho}{\rho_0} = - \frac{\beta \Delta T}{1+\Delta{V}/V}$$ Как упоминалось ранее, изменение объема из-за расширения намного меньше, чем первоначальный объем объекта, поэтому$\Delta V/V << 1$, что означает, что вы можете пренебречь$\Delta V/V$в знаменателе по сравнению с$1$; в результате чего: $$\frac{\Delta \rho}{\rho}\simeq-\beta \Delta T$$

* Точнее, из определения$\beta$у нас есть:

$$\frac {dV}{V}=\beta dT$$ так: $$\int_{V_1}^{V_2}\frac {dV}{V}=\int_{T_1}^{T_2}\beta dT$$ Теперь при условии, что изменение температуры$\Delta T = T_2 - T_1$достаточно мала, чтобы можно было пренебречь вариациями$\beta$в$[T_1,T_2]$интервал,$\beta$(и$V$) можно приближенно вытащить из интеграла, в результате чего: $$\frac{\Delta V}{V} \simeq \beta \Delta T$$ это формула, которую вы использовали.

Обратите внимание, что вы также можете изменить определение$\beta$по плотности$\rho=\frac m V$чтобы получить это приближение:

$$\beta \equiv \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p} = \frac{1}{m / \rho}\left(\frac{\partial (\frac {m}{\rho})}{\partial T}\right)_{p} = \frac {\rho}{m}\left(-\frac{m}{\rho^2}\right)\left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_{p}=-\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_{p}$$

Так

$$\beta \simeq-\frac{1}{\rho} \frac{\Delta \rho}{\Delta T} \implies \frac{\Delta\rho}{\rho}=-\beta\,\Delta{T}$$