Еще одно возражение против движущегося бесконечного листа заряда Фейнмана «радиатор».

Как можно объяснить -Y-компонент электрического поля, рекламируемого Фейнманом, используя подход 13-6?

Этого не может быть. Не обманывайте себя, думая, что все электрические и магнитные поля возникают из-за сокращения длины того или иного распределения заряда. Тот факт, что электрические и магнитные силы смешиваются вместе, когда вы меняете систему отсчета, не означает, что при тщательном рассмотрении не существует таких вещей, как магнетизм или индукция (что должно быть очевидным — магнитные поля могут существовать и при отсутствии каких-либо зарядов).

Верно ли мое понимание этого в той мере, в какой должна существовать X-компонента электрического поля, создаваемого парой листов, когда «проводящий» лист приводится в движение?

Да, однако это объясняет вклад в общее электрическое поле порядка$\frac{u^2}{c^2}$(где$u$— скорость токового слоя), которой можно пренебречь в пределе малых$u$по сравнению с индуктивным электрическим полем, которое намного больше.

Как отмечает Фейнман, магнитное поле (в ненулевой области) определяется выражением

$$\mathbf B = -\frac{J}{2\epsilon_0 c^2}\hat z = -\frac{\sigma' u}{2\epsilon_0 c^2} \hat z = -\frac{\sigma u}{2\epsilon_0 c^2} \hat z + \mathcal O\left(\frac{u^3}{c^3}\right)$$ где$\sigma$- плотность поверхностного заряда на плоскости, а$\sigma'$- плотность поверхностного заряда, сжатая по Лоренцу. Тогда индуцированное электрическое поле равно $$\mathbf E = -c|\mathbf B|\hat y = -\frac{\sigma' u}{2\epsilon_0 c} \hat y = -\frac{\sigma u}{2\epsilon_0 c} \hat y + \mathcal O\left(\frac{u^3}{c^3}\right)$$ В низшем порядке в$u/c$, мы можем просто заменить$\sigma'$с$\sigma$в обоих выражениях.

С другой стороны,$\hat x$-компонента электрического поля, которую можно отнести к лоренц-сжатию распределения движущегося заряда, равна

$$\mathbf E' =\left( \frac{\sigma'}{2\epsilon_0}-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\right)\hat x = \left[\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}-1\right)\right] \hat x = \left(\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\frac{u^2}{c^2}\right) \hat x + \mathcal O\left(\frac{u^4}{c^4}\right)$$

Было бы интересно включить эту компоненту электрического поля более высокого порядка в самосогласованный анализ, выполненный ранее при выводе Фейнмана; Я думаю, вы обнаружите, что волна будет распространяться наружу под небольшим углом (не прямо вдоль оси x) и что будет дополнительный вклад более высокого порядка в магнитное поле в направлении, отличном от$\hat z$.

Во всяком случае, в низшем порядке$u/c$(т.е. предел малых скоростей), электрическое поле просто равно индуктивному вкладу.

---

Вы не ошиблись, если беспокоитесь об идее отбрасывания мелких терминов; ведь если частица движется со скоростью$v \sim u$, то величина магнитной силы, действующей на частицу, сравнима с электрической силой из-за пренебрегаемого ранее электростатического поля. Однако обе эти силы$u/c$раз меньше, чем сила, вызванная индуктивным электрическим полем, и поэтому пока мы работаем только в низшем порядке в$u/c$, то мы все еще в порядке.

Более того, цель этого упражнения не в том, чтобы определить электрические и магнитные поля до высоких порядков.$u/c$, а скорее дать физическую интуицию тому, как электрические и магнитные поля эволюционируют самосогласованно друг с другом. Студенты (и бывшие студенты :) ) склонны говорить такие вещи, как «изменяющиеся электрические поля создают магнитные поля», что, строго говоря, неверно. Ни одно из них не является причиной другого, поскольку они развиваются одновременно , чтобы удовлетворять уравнениям Максвелла.

Часто инструкторы начинают с уравнений Максвелла, выводят волновые уравнения для электрического и магнитного полей (или потенциалов), а затем используют их для расчета подобных вещей. Фейнман использует более «приземленный» подход и напрямую использует уравнения Максвелла (наряду с некоторыми физическими открытиями) для получения правильного ответа. Сама проблема немного искусственна, но она отлично работает по своему прямому назначению, и это освежающий способ развить интуицию.

---

На первую часть моего вопроса удовлетворительно ответил Дж. Мюррей.

Оставшаяся часть на самом деле является продолжением моего предыдущего вопроса. Этот вопрос можно было бы переформулировать так: как Фейнман получил результат, который$E_y\ne{0}$постоянна между плоскостью источника и фронтом волны?

Ответ заключается в том, что, поскольку источник представляет собой бесконечную плоскость, источник и фронт волны образуют замкнутую границу, поскольку они имеют общую границу «на бесконечности». Для любой границы, охватывающей фронт волны, как показано на рис. 18.6, скорость изменения магнитного потока через ограниченную поверхность во времени будет зависеть только от длины$L$. Если бы источник имел конечный размер, фронт волны расширялся бы во всех направлениях. Таким образом, величина изменения магнитного поля в любой точке фронта волны будет уменьшаться по мере удаления от излучателя.

Но этот ответ вызывает вопрос о том, какой источник отвечает за наличие константы$E_y$между источником и фронтом волны? Ответ заключается в том, что вклад от кольца, лежащего в плоскости источника и с центром на перпендикулярном отрезке линии между источником и точкой поля, где должно быть измерено поле, не зависит от радиуса кольца. Переходный период, в течение которого проводящий лист ускоряется, является единственным временем, когда генерируется электрическое поле. Это потому, что это единственный момент, когда магнитное поле меняется. По мере расширения горизонта событий переходного периода вдоль плоскости источника определяемое таким образом кольцо вносит такой же вклад.$E_y$во все времена.

Лист Фейнмана имел бесконечную протяженность и приводился в движение за нулевое время. Это возможно? Да, если лист растягивается так, что не происходит сокращения длины.

В этом случае электрическое поле по-прежнему существует во всех системах отсчета, кроме исходной, потому что во всех других системах отсчета, кроме исходной системы покоя, лист сжимается или расширяется — за время, отличное от нуля.

В исходной системе покоя существует магнитное поле, потому что токовая петля (компас), покоящаяся в этой системе отсчета, содержит движущиеся заряды, которые наблюдают плотность заряда, которая изменилась по сравнению с исходной плотностью заряда.

И пробный заряд будет чувствовать индуцированное электрическое поле, когда заряды на листе ускоряются, потому что представление пробного заряда о том, где находятся ускоряющие заряды, зависит от конечной скорости передачи информации.

Я имею в виду, что если ускорения зарядов кажутся зависимыми от направления, то кажущиеся изменения плотности заряда будут наблюдаться пробным зарядом во время ускорения. И поскольку кажущаяся скорость приближения может быть сверхсветовой, а кажущаяся скорость удаления не может быть сверхсветовой, мы можем видеть, что кажущиеся ускорения должны зависеть от направления.