Если щель освещается светом, сохранит ли электрон свою интерференционную картину?

Интерференционная картина исчезнет, ​​если электрон взаимодействует с фотонами (освещение щели), потому что тогда происходит локальное событие, и траектория электрона, означающая, какая щель была взята, ясна.

Если вы посылаете только несколько фотонов, вероятность взаимодействия мала. Отсутствие взаимодействия между ними означает интерференционную картину. Так что вопрос в том, произойдет ли что-то, и вероятность этого будет пропорциональна количеству фотонов.

Чтобы узнать, куда движется электрон, вы должны сначала принять, что ответом будет распределение вероятностей, а не одна точка.

Найти вероятность попадания электрона в точку$P$на экране нужно сложить два числа, а затем взять квадрат модуля. Это комплексные числа. Давайте позвоним им$a$и$b$. Позволять$x$— положение точки на экране, где, наконец, наблюдается прибытие электрона. Тогда комплексные числа (называемые квантовыми амплитудами) будут зависеть от$x$, а вероятность

$$\mbox{Probability(electron arrives at $x$)} = | a(x) + b(x) |^2$$ Сначала предположим, что свет не освещает щели. В этом случае формула для$a(x)$и$b(x)$довольно просто: вы просто берете расстояние от соответствующей щели до точки в$x$и разделите на длину волны де Бройля электронов, и это даст вам фазу (после умножения на$2\pi$). Это похоже на распространение волны, поэтому$\psi(x) = a(x) + b(x)$часто называют волновой функцией. В любом случае вы найдете $$a(x) = A e^{-i\phi(x)/2}, \;\;\;\;\; b(x) = B e^{i\phi(x)/2}$$ где$A$и$B$очень мало зависит от$x$, но фаза$\phi(x)$довольно чувствителен: $$\phi(x) = \frac{2 \pi x d }{\lambda L}$$ где$d$это разделение щелей и$L$расстояние от щелей до экрана, и мы предполагали$L \gg x,d$так что комбинация$x/L$это угол, образуемый в щелях различными местами$x$на экране.

Теперь наблюдаемая интерференционная картина (когда свет не освещает щели) во многом связана с фазой$\phi(x)$. Потому что когда$A$и$B$равны (что является хорошим приближением на практике), мы имеем

$$\mbox{Probability} = |A|^2 |e^{-i\phi(x)/2} + e^{i\phi(x)/2}|^2 = 4|A|^2 \cos^2(\phi(x)/2).$$ Что$\cos^2$функцией является интерференционная картина.

Итак, теперь мы, наконец, подошли к тому, что происходит, когда свет освещает щели. Возьмем случай, когда свет освещает только щель$B$. Результатом этого является введение изменения в$b(x)$. Взаимодействие между светом на электроне приводит к изменению импульса электрона, так что теперь он распространяется от щели B в новом направлении (другой способ анализа вызывает идею запутанности, но я не буду использовать этот подход). Направление, которое принимает электрон после взаимодействия с фотоном, таково, что сохраняется импульс, поэтому оно зависит от изменения импульса фотона. Но для того, чтобы попасть в одну щель, а не в другую, световой луч должен иметь узкий фокус, и, следовательно, направление движения фотона разбросано по всему диапазону (пример принципа неопределенности Гейзенберга, примененного здесь к фотонам, достигающим точки). щель). Следовательно, направление движения электрона после взаимодействия с фотоном также разбросано по диапазону. Этот диапазон углов составляет около

$$\Delta \theta \simeq \frac{p_{\rm photon}}{p_{\rm electron}}$$ где здесь$p$относится к импульсу, и мы предполагаем$p_{\rm photon} < p_{\rm electron}$. Это формула, потому что электрон получает толчок импульса примерно$p_{\rm photon}$так что его направление движения повернуто в сторону примерно$\Delta \theta$. Теперь вспомните, что$x/L$угол (т.е. угол от нормали к плоскости щелей) положения$x$на экране. Вклад в волновую функцию от щели B теперь регулируется$\Delta \theta$, что означает, что он управляется $$\Delta x = L \Delta \theta$$ Итак, теперь у нас есть вероятность того, что электрон достигнет$x$: $${\rm Probability} = 4 |A|^2 | e^{-i\phi(x)/2} + e^{i\phi(x + \Delta x)/2}|^2$$ где мы должны иметь в виду, что$\Delta x$здесь говорится о сумме, на которую$x$может меняться от одного электрона к другому по мере построения интерференционной картины. Математика может показаться сложной, но основная идея заключается в том, что импульс импульса, вызванный светом, сдвигает интерференционную картину случайным образом, который варьируется от одного электрона к другому . Но когда вы добавляете набор случайно сдвинутых интерференционных паттернов, паттерн размывается, потому что светлые участки одного паттерна заполняют темные участки другого.

Давайте посмотрим, насколько большим должен быть этот сдвиг, чтобы размыть паттерн. Это потребует

$$\Delta x > \lambda L/d$$ (потому что это разделение между полосами). Так что потребуется $$\Delta \theta > \lambda / d$$ и поэтому $$p_{\rm photon} > p_{\rm electron} \lambda / d.$$ Теперь длина волны де Бройля связана с импульсом соотношением$\lambda = h / p$где$h$постоянная Планка, поэтому имеем $$p_{\rm photon} > \frac{h}{d}$$ или другими словами $$p_{\rm photon} d > h.$$

Причина, по которой я представил математические детали, заключалась в том, чтобы прояснить, что утверждение, выделенное выше жирным шрифтом, о скачке импульса, действительно содержит здесь физику. Нет необходимости говорить «иногда это волна, иногда это частица» или что-то в этом роде. Это просто случай взаимодействия одной вещи с другой, сохранения импульса и того факта, что толчок импульса включает в себя случайное направление, которое принимает либо входящий, либо выходящий фотон, либо и то, и другое.

Как я намекнул выше, тот же результат можно получить, сохранив в расчетах квантовое состояние фотона, и тогда вы получите запутанное состояние, и возникает вопрос, являются ли возможные конечные состояния фотона взаимно ортогональными. Если это так, то фотон содержит информацию о том, «какой путь», и интерференция электронов исчезает. Это дает неплохое дополнительное представление, но приведенный выше расчет с точки зрения импульса импульса полностью эквивалентен.