Есть ли доказательства состояния качения?

Если вы просите доказательства того, что "катиться без скольжения" означает$v=r\omega$, вот один:

Когда мы говорим, что объект «катится, не скользя», это означает, что расстояние, пройденное объектом за определенное время$\Delta t$точно такая же, как длина дуги, которую проходит точка на колесе при вращении. (Чтобы понять, почему это так, рассмотрим обратное: если колесо проскальзывает, то происходит одно из двух: оно либо проходит какое-то расстояние, не поворачиваясь, либо поворачивается, не преодолевая никакого расстояния. В первом случае длина дуги что точка, пройденная колесом, меньше, чем пройденное расстояние; в последнем случае оно больше. Следовательно, требование, чтобы оно не скользило, означает, что ни одно из вышеприведенных утверждений не верно, гарантируя равенство. Вы также можете увидеть это, если вы представьте, что земля «накатывается» на колесо, когда оно катится, или что-то подобное, если вы представляете колесо как катушку с веревкой, которая раскручивается во время движения.)

В интервале времени$\Delta t$, колесо, вращающееся с постоянной угловой скоростью$\omega$будет вращаться на общую длину дуги$s=r\theta=r\omega\Delta t$. Аналогично, в интервале времени$\Delta t$, объект, движущийся с постоянной скоростью$v$покроет расстояние$d=v\Delta t$. Параметр$s=d$согласно нашему аргументу в первом абзаце, мы видим, что

или эквивалентно

Поскольку выше мы не вводили никаких других предположений, кроме «катится без скольжения», мы доказали, что утверждение, что объект катится без скольжения, эквивалентно установлению$v=r\omega$.

«Катание без скольжения» — это не то, что можно доказать. Скорее, это модель, способ осмысления ситуации, который часто может быть полезным приближением. Вы используете его, когда он достаточно точен, чтобы помочь. Не используйте его, когда ситуация отличается, и это не помогает.

• Велосипедное колесо медленно движется по тротуару: ок.
• То самое колесо, летящее по воздуху во время прыжка: не в порядке
• Автомобильная шина на сухом асфальте при вождении по городу: нормально

• Автомобильная шина на гоночной машине F1 покидает боксы в облаке дыма от шин: не в порядке

• Для навигационной системы, которая хочет точно определить, как далеко проехала ваша машина: может быть, да, а может быть, и нет. Зависит от того, насколько точным вам нужно быть.

Многие физические модели таковы. В их использовании есть смысл, иногда они не то, что вам нужно для вашей ситуации, но их учат, потому что они часто полезны.