Импульс и импульс на систему трех частиц (равносторонний треугольник)

Question

Импульс и импульс на систему трех частиц (равносторонний треугольник)

Меклассик

Я нашел это упражнение в учебнике, в котором было только описание того, что происходит, и ответы с небольшими пояснениями. Решение предоставлено, меня больше всего интересует понимание того, что происходит. Рассмотрим следующую систему, состоящую из трех частиц, каждая из которых имеет массу $m$ , соединенных жесткими безмассовыми стержнями в виде равностороннего треугольника. Первоначально система находится в состоянии покоя (частица $A$ выше частицы $B$ в исходном состоянии). Импульс $\hat{F}$ применяется к $A$ , вызывая частицу $B$ скользить без трения по опорному основанию.

Идея состоит в том, чтобы найти значения $\dot x$ и $\dot \theta$ скорости сразу после импульса; и оценить импульс ограничения $\hat{N}$ .

Моя первоначальная идея состояла в том, чтобы использовать линейный импульс, фокусируясь в $x$ направление первое. Поскольку частица B будет скользить, линейное ускорение системы будет $3m\ddot x$ . Взяв частицу B в качестве точки отсчета, и поскольку центр масс системы будет вовлечен в движение по дуге, ее ускорение $x$ составляющая (тангенциальная) непосредственно после того, как импульс будет $ml\sqrt{3}\ddot\theta$ (радиус будет $l/\sqrt{3}$ ).

Таким образом, импульс будет $\hat{F}=3m\dot x+ml\sqrt{3}\dot \theta$ .

Но решение учебника указывает, что $\hat{F}=3m\dot x+\frac{3}{2}ml\dot \theta$ .

Итак, моя первая проблема: откуда $\frac{3}{2}$ происходит от? Или я работаю совершенно неправильно?

Увидев это решение, я задался вопросом, возможно ли это $\frac{3}{2}ml\ddot \theta$ тангенциальная составляющая углового ускорения будет результатом добавления $l/2$ радиус (по вертикальной оси), который был бы вертикальным расстоянием до частицы C от B; плюс $l$ радиус, который был бы вертикальным расстоянием до частицы $A$ ; умножается на $\ddot \theta$ . Что привело бы к "тангенциальной" составляющей вдоль $x$ ось $\frac{3}{2}ml\ddot \theta$ . Будет ли это приемлемым предложением?

Моя идея заключалась в том, чтобы сформулировать угловой импульс как изменение углового момента, приводящее к умножению $\hat{F}$ по расстоянию между частицей $B$ и центр масс: $l/\sqrt{3}$ . Таким образом, я получил бы систему из двух уравнений и двух переменных и решил бы $\dot x$ и $\dot \theta$ .

Только, опять же, предоставленное решение довольно далеко от моей идеи, потому что оно гласит, что $\hat{F}l = \frac{3}{2}ml\dot x + 2ml^2\dot \theta$ . И я не вижу никакой связи с уравнением линейного импульса.

Ответы (1)

Импульс и импульс на систему трех частиц (равносторонний треугольник)

Меклассик · Answer 1

Этот вопрос не набрал ни голосов, ни ответов, может быть потому, что, как оказалось, это было не так уж сложно. В любом случае, я все же предлагаю развернутый ответ на всякий случай.

Решение для $\dot x$ и $\dot \theta$

Импульс, приложенный сверху, определяется как изменение линейного количества движения системы частиц. Для большего удобства мы будем использовать частицу $B$ как ориентир.

\hat{Дж} "=" \sum_{я "=" 1}^{3} Δ п_{я}

$\begin{equation} \hat{\mathbf{J}} = \sum\limits_{i=1}^{3}\Delta \mathbf{p_i} \end{equation}$

где $\hat{\mathbf{J}}$ - общий вектор импульса, воздействующий на систему, состоящий из горизонтальных $\hat{F}$ и импульс вертикальной связи $\hat{N}$ ; и $\sum\limits_{i=1}^{3}\Delta \mathbf{p_i}$ представляет собой сумму вариаций линейного импульса частиц системы. Поскольку система изначально находится в состоянии покоя , начальные скорости ее частиц равны нулю, поэтому изменение линейного импульса представляет собой просто сумму их индивидуальных конечных импульсов.

Потому что частицы $A$ и $C$ подвержены линейной скорости $\dot x$ в результате скольжения частицы $B$ ; и к угловой скорости $\dot\theta$ в результате вращения вокруг частицы $B$ ; приведенное выше уравнение может быть преобразовано в виде:

(\hat{Ф} \vec{я} + \hat{Н} \vec{Дж}) "=" м ((- л \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{я} + \frac{л}{2} \vec{Дж}) \times \dot{θ} \vec{к} + \dot{Икс} \vec{я}) + м (л \vec{Дж} \times \dot{θ} \vec{к} + \dot{Икс} \vec{я}) + м \dot{Икс} \vec{я}

$\begin{equation} \left(\hat{F}\,\vec{i}+\hat{N}\,\vec{j}\right) = m\left( \left( -l\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{i} + \frac{l}{2}\vec{j} \right) \times \dot\theta\vec{k} + \dot x\vec{i} \right) + m\left( l\vec{j} \times \dot\theta\vec{k} + \dot x\vec{i} \right) + m\dot x\vec{i} \end{equation}$

где $\vec{i}$ , $\vec{j}$ и $\vec{k}$ являются единичными векторами системы отсчета и $\times$ оператор обозначает векторное произведение между векторами. В правой части приведенного выше уравнения первый член соответствует линейному импульсу частицы $C$ , средний соответствует линейному импульсу частицы $A$ а последний член представляет собой линейный импульс частицы $B$ который подвергается только скользящему движению.

Развивая приведенное выше уравнение, $\hat{F}$ и $\hat{N}$ компоненты применяемого линейного вектора импульса $\hat{\mathbf{J}}$ идентифицируются как горизонтальный линейный импульс, приложенный к частице $A$ :

\hat{Ф} "=" 3 м \dot{Икс} + \frac{3}{2} м л \dot{θ}

$\begin{equation} \hat{F} = 3m\dot x + \frac{3}{2}m l \dot\theta \end{equation}$

и ограничивающий линейный импульс, приложенный опорным основанием к частице $B$ :

\hat{Н} "=" \frac{\sqrt{3}}{2} м л \dot{θ}

$\begin{equation} \hat{N} = \frac{\sqrt{3}}{2}m l \dot\theta \end{equation}$

Поскольку линейный импульс ограничения $\hat{N}$ считается следствием линейного импульса $\hat{F}$ и значение $\hat{N}$ неизвестно, нам все еще нужно решить одно уравнение для $\dot x$ и $\dot \theta$ ценности. Сохранение частицы $B$ в качестве точки отсчета углового момента каждой частицы мы можем найти $\dot x$ и $\dot \theta$ без необходимости решать $\hat{N}$ . Таким образом, можно установить связь между угловым импульсом при $B$ в результате линейного импульса на частице $A$ и изменение углового момента каждой частицы:

\hat{М} "=" \sum_{я "=" 1}^{3} Δ {ЧАС}_{я} "=" \sum_{я "=" 1}^{3} р_{я} \times Δ п_{я}

$\begin{equation} \hat{\mathbf{M}} = \sum\limits_{i=1}^{3}\Delta \mathbf{H_i} = \sum\limits_{i=1}^{3}\mathbf{r}_i \times \Delta \mathbf{p_i} \end{equation}$

где $\hat{\mathbf{M}}$ обозначает угловой импульс вокруг частицы $B$ линейного импульса $\hat{F}$ применяется на $A$ ; $\sum\limits_{i=1}^{3}\Delta \mathbf{H_i}$ представляет собой сумму отдельных угловых моментов вокруг $B$ частиц $A$ и $C$ ; и $\mathbf{r}_i$ вектор, идущий от $B$ к другим частицам.

В левой части приведенного выше уравнения имеем

\hat{М} "=" \hat{Ф} \vec{я} \times л \vec{Дж} "=" \hat{Ф} л \vec{к}

$\begin{equation} \hat{\mathbf{M}} = \hat{F}\,\vec{i} \times l\vec{j} = \hat{F}l\vec{k} \end{equation}$

а справа, так как начальные скорости имеют:

\sum_{я "=" 1}^{3} р_{я} \times Δ п_{я} "=" (- л \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{я} + \frac{л}{2} \vec{Дж}) \times (м (\frac{л}{2} \dot{θ} + \dot{Икс}) \vec{я} + м л θ \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{Дж}) + л \vec{Дж} \times м (л \dot{θ} + \dot{Икс}) \vec{я}

$\begin{equation} \sum\limits_{i=1}^{3}\mathbf{r}_i \times \Delta \mathbf{p_i} = \left( -l\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{i} + \frac{l}{2}\vec{j} \right) \times \left( m\left( \frac{l}{2}\dot\theta + \dot x \right)\vec{i} + ml\theta\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{j} \right) + l\vec{j} \times m(l\dot\theta + \dot x)\vec{i} \end{equation}$

где первое векторное произведение обозначает угловой момент частицы $C$ вокруг $B$ ; а второе векторное произведение обозначает угловой момент частицы $A$ вокруг $B$ . Развивая это последнее уравнение с уравнением $\hat{M}$ незадолго до этого мы находим, что

\hat{Ф} л "=" \frac{3}{2} м л \dot{Икс} + 2 м л^{2} \dot{θ}

$\begin{equation} \hat{F}l = \frac{3}{2}ml\dot x + 2ml^2\dot\theta \end{equation}$

Таким образом, вспоминая уравнение горизонтального линейного импульса при формировании системы с приведенным выше уравнением,

\hat{Ф} "=" 3 м \dot{Икс} + \frac{3}{2} м л \dot{θ}

$\begin{equation} \hat{F} = 3m\dot x + \frac{3}{2}m l \dot\theta \end{equation}$

мы можем решить для значений $\dot x$ и $\dot\theta$ :

\dot{θ} "=" \frac{2 \hat{Ф}}{5 м л}

$\begin{equation} \dot\theta = \frac{2\hat{F}}{5ml} \end{equation}$

и

\dot{Икс} "=" \frac{2 \hat{Ф}}{15 м л}

$\begin{equation} \dot x = \frac{2\hat{F}}{15ml} \end{equation}$

Решение для значения линейного импульса ограничения $\hat{N}$

Вспоминая полученное ранее уравнение вертикального линейного импульса

\hat{Н} "=" \frac{\sqrt{3}}{2} м л \dot{θ}

$\begin{equation} \hat{N} = \frac{\sqrt{3}}{2}m l \dot\theta \end{equation}$

и вводя значение угловой скорости $\dot\theta$ чуть выше:

\hat{Н} "=" \frac{\sqrt{3}}{5} \hat{Ф}

$\begin{equation} \hat{N} = \frac{\sqrt{3}}{5}\hat{F} \end{equation}$

Импульс и импульс на систему трех частиц (равносторонний треугольник)

Меклассик

Ответы (1)

Меклассик

Уточнение относительно главных осей при движении твердого тела

Почему мы используем весь радиус-вектор в угловом моменте, а не только единичный вектор?

Неправильный знак в угловом моменте (квантовая механика)

Сохранение углового момента при прокатке

Угловой момент и крутящий момент колеблющегося цилиндрического стержня

Расчет пути мяча со вращением, движущегося по столу

Сфера поднимается на ступеньку [закрыто]

Система координат, угловые свойства и центроид

Импульс зубчатой рейки и шестерни, возбуждаемой изменяющейся во времени силой

Сохранение углового момента для твердых тел.