Есть ли какая-либо связь между слабыми и сильными взаимодействиями, как между электрическими и магнитными силами?

Я догадываюсь, о чем вы спрашиваете - игнорируйте этот ответ, если я вас неправильно понял.

Уравнения Максвелла описывают классическое поведение электромагнетизма. Они могут сделать это только потому, что электромагнитные силы имеют большой радиус действия, поэтому на макроскопических расстояниях они ведут себя классически. Напротив, слабые и сильные взаимодействия действуют на короткие расстояния и перестают действовать на чем-либо вроде классического предела расстояния. Не существует классического приближения для описания слабых и сильных взаимодействий, поэтому нет аналогии с уравнением Максвелла.

Выше электрослабого перехода электрослабое взаимодействие станет дальнодействующим. Есть ли какой-то классический предел в духе уравнений Максвелла — хороший вопрос, и я не знаю ответа. Я предполагаю, что такого предела для сильной силы нет даже в случае ВЗ-перехода, потому что сила все равно будет ограничена.

Сам ответ на вопрос, поставленный в заголовке, - нет. Объединяющая связь, аналогичная Электричеству + Магнетизму ⇒ Электромагнетизму, которую вы ищете, — это не Слабая ядерная сила + Сильная ядерная сила ⇒ (???), а Слабая ядерная сила + Электромагнетизм ⇒ Электрослабая сила. Только сходство имен говорит об обратном.

Вместо этого сильное взаимодействие разветвляется от более глубокого, более фундаментального (и гораздо более сильного) кваркового или цветового взаимодействия, соответствующей квантовой теории поля является квантовая хромодинамика или КХД; в то время как для электрослабого взаимодействия это квантовая динамика вкуса или КФД.

Итак, кроме гравитации известны только 2 фундаментальные силы - электрослабая и цветовая; и Стандартная модель и лежащая в основе квантовая теория поля предоставляют возможность для третьего, что требует подробного объяснения хиральности, спиральности, треугольной аномалии и спектра фермионов для Стандартной модели, поэтому я выиграл не буду больше говорить об этом здесь, кроме краткого замечания, прежде чем продолжить.

Ответ на вопрос внутри вопроса («Существуют ли уравнения, подобные Максвеллу?») — да, но потребует некоторой настройки. И я не буду излагать ответ полностью, так как это требует более глубокого изучения бозона Хиггса.

Короткое замечание, которое необходимо сделать, состоит в том, что группа симметрии SU(3) × SU(2) × U(1) включает симметрии SU(3) для «цвета», SU(2) для «изоспина» (который, несмотря на свое название, не имеет никакого отношения к спину или угловому моменту, кроме своей группы симметрии, также является SU (2)) и U (1) для «гиперзаряда». Первые два имеют неабелевы калибровочные поля, а последний — нет. Уравнения Максвелла для неабелевых калибровочных полей нелинейны и неоднородны, и все они имеют исходные члены, возникающие из самого поля, включая магнитные исходные и текущие члены.

Что еще более важно: электромагнитное поле — это не поле гиперзаряда U(1), а суперпозиция поля гиперзаряда с одной из трех мод поля SU(2). Таким образом, его уравнения поля также нелинейны и неоднородны. Наиболее важной особенностью электрослабой теории является то, что в силу этой нелинейности и неоднородности ее уравнения одновременно заменяют и фальсифицируют уравнения Максвелла.

Для классической теории поля ситуация сейчас такова, что уравнения Максвелла для электромагнетизма заменены уравнениями, которые являются частью уравнений калибровочного поля, записанных в форме Максвелла. Когда мы квантуем электромагнетизм в КФД, это то, что мы сейчас квантуем; не уравнения Максвелла.

Поля

Следующее описание является общим для всех калибровочных полей, независимо от того, какова его группа симметрии или какой тип лагранжиана описывает его динамику (Янг-Миллса или другой). Единственное сделанное предположение состоит в том, что существует принцип действия для его динамики, управляемый лагранжианом.

Поле и уравнения в основном такие же, как у Максвелла, за исключением того, что каждый компонент повторяется. Для группы симметрии U(1) × SU(2) × SU(3), имеющей 12 образующих, это означает 12-кратную репликацию.

Для следующего они являются векторнозначными Ли: электрический потенциал $φ$, магнитный потенциал $𝐀 = (A₁, A₂, A₃)$, магнитная индукция $𝐁 = (B¹, B², B³)$и электрическая сила $𝐄 = (E₁, E₂, E₃)$. Скаляр и каждый компонент трех векторов является вектором Ли.

Для следующего они являются ковекторами Ли: электрическая индукция $𝐃 = (D¹, D², D³)$, магнитная сила $𝐇 = (H₁, H₂, H₃)$, плотность заряда $ρ$, а плотность тока $𝐉 = (J¹, J², J³)$, а также заряд$e$. Точно так же это означает каждый скаляр и каждый компонент каждого вектора.

Они упорядочиваются в следующие формы со значениями вектора Ли:

$$A ≡ A₁ dx + A₂ dy + A₃ dz ‒ φ dt,$$ $$F ≡ B¹ dy∧dz + B² dz∧dx + B³ dx∧dy + (E₁ dx + E₂ dy + E₃ dz)∧dt,$$

соответственно для 1-формы потенциала , 2-формы напряженности поля и следующих форм со значениями ковектора Ли:

$$G ≡ D¹ dy∧dz + D² dz∧dx + D³ dx∧dy ‒ (H₁ dy + H₂ dy + H₃ dz)∧dt,$$ $$Q ≡ ρ dx∧dy∧dz ‒ (J¹ dy∧dz + J² dz∧dx + J³ dx∧dy)∧dt.$$

соответственно для поля ответа 2-форма и исходная текущая 3-форма .

В своих самых ранних работах, до трактата, Максвелл описывал поля как дифференциальные формы, за исключением того, что он не комбинировал$(φ, 𝐀), (𝐁, 𝐄), (𝐃, 𝐇), (ρ, 𝐉)$пары с$dt$, но сохранил их отдельно и не использовал алгебру Грассмана для дифференциальных форм (кроме одного раза в трактате). И он действительно кратко описал возможность объединения гравитации и электромагнетизма с нетривиальным углом смешения в то, что мы сейчас назвали бы абелевым калибровочным полем для U(1) × U(1). Современный аналог этого возник бы при объединении гиперзаряда U(1) с U(1) дополнительной силы, о которой я вкратце упоминал выше (т.е.$B-L$сила, или сила, которая связана с барионным числом минус лептонное число), и будет описывать объединение электрослабого взаимодействия с$B-L$сила, а не объединение электромагнетизма с гравитацией.

Алгебраические соглашения

Каждая группа Ли имеет алгебру Ли, элементы которой, «векторы Ли», могут быть разложены по базису.$(Y₀, Y₁, Y₂, ⋯) = (Y_a)$. Основные операции алгебры Ли — сложение, умножение на скаляр и скобка Ли.$[⋯,⋯]$. Действие скобки полностью определяется ее действием на основании,

$$[Y_a,Y_b] = Σ_c f_{ab}^c Y_c,$$

выражается через структурные коэффициенты $f_{ab}^c$. Здесь и далее я буду использовать правило суммирования Эйнштейна , которое означает, что повторяющиеся индексы должны суммироваться. Таким образом, приведенное выше уравнение можно переписать как$[Y_a,Y_b] = f_{ab}^c Y_c$.

Следовательно, поля, их компоненты и формы$A$,$F$,$G$и$Q$, и заряд$e$все имеют разложения по соответствующим основаниям

$$(φ, 𝐀, 𝐁, 𝐄) = (φ^a Y_a, 𝐀^a Y_a, 𝐁^a Y_a, 𝐄^a Y_a),$$ $$(ρ, 𝐉, 𝐇, 𝐃) = (ρ_a Y^a, 𝐉_a Y^a, 𝐇_a Y^a, 𝐃_a Y^a),$$ $$e = e_a Y^a.$$

Важно отметить, что два члена в каждой из пар$(𝐃,𝐄)$и$(𝐁,𝐇)$нельзя просто приравнять друг к другу, потому что они даже не относятся к одному и тому же типу объектов.

Алгебру Ли всегда можно расширить, снабдив ее операцией ассоциативного произведения, такой что$uv ‒ vu = [u,v]$; например, приняв точное матричное представление или алгебру вложения.

Дуальная алгебра Ли имеет базис$(Y⁰, Y¹, Y², ⋯) = (Y^a: a = 0, 1, 2, ⋯)$. Основные операции - это сокращение и «сопряженная скобка» с векторами Ли:

$$Y_a ˩ Y^b = δ_a^b,$$ $$[Y^c, Y_a] = f^c_{ab} Y^b$$

где$δ_a^b = 1$если$a = b$и$δ_a^b = 0$если$a ≠ b$. Последняя операция удовлетворяет тождеству

$$v ˩ [ω, u] = [u, v] ˩ ω.$$

Для полупростых групп Ли алгебраическое расширение их алгебр Ли может быть дополнительно расширено для включения ковекторов, так что

$$ω u ‒ u ω = [ω, u]$$

и дополнительный оператор, линейный оператор «трассировки», который удовлетворяет:

$$Tr(ωu) = u ˩ ω,$$ $$Tr(ab⋯c) = Tr(b⋯ca).$$ $$Tr(u ± v) = Tr(u) ± Tr(v)$$

Таким образом, например

$$Tr(ω [u,v]) = Tr(ω (uv ‒ vu)) = Tr((ωu ‒ uω)v) = Tr([ω,u]v)$$ что согласуется с требованием, чтобы$v ˩ [ω,u] = [u,v] ˩ ω$.

Благодаря тому, что алгебра Ли встроена в ассоциативную алгебру, как описано выше, векторные операции могут быть хорошо согласованы с операциями Ли. Таким образом,

$$𝐀 × 𝐀 = 𝐀^a × 𝐀^b Y_a Y_b = ½ 𝐀^a × 𝐀^b (Y_a Y_b ‒ Y_b Y_a) = ½ f^c_{ab} 𝐀^a × 𝐀^b Y_c$$ и аналогично: $$φ𝐀 ‒ 𝐀φ = f^c_{ab} φ^a 𝐀^b Y_c;$$ а для ко-векторных форм мы можем написать $$φ𝐃 ‒ 𝐃φ = -f^c_{ab} φ^a 𝐃_c Y^b.$$

Уравнения калибровочного поля в форме Максвелла

Таким образом, с этими соглашениями уравнения классической калибровочной теории могут быть записаны в форме, аналогичной уравнениям Максвелла, как:

1. Уравнения потенциала поля:

$$𝐁 = ∇ × 𝐀 + 𝐀 × 𝐀,$$ $$𝐄 = ‒\frac{∂𝐀}{∂t} ‒ ∇φ + φ𝐀 ‒ 𝐀φ.$$

2. Личность Бьянки:

$$∇·𝐁 + 𝐀·𝐁 ‒ 𝐁·𝐀 = 0,$$ $$∇×𝐄 + \frac{∂𝐁}{∂t} + 𝐀×𝐄 + 𝐄×𝐀 + 𝐁φ ‒ φ𝐁 = 𝟬.$$

3. Полевое право:

$$∇·𝐃 + 𝐀·𝐃 ‒ 𝐃·𝐀 = ρ,$$ $$∇×𝐇 ‒ \frac{∂𝐃}{∂t} + 𝐀×𝐇 + 𝐇×𝐀 + φ𝐃 ‒ 𝐃φ = 𝐉.$$

4. Уравнение непрерывности:

$$∇·𝐉 + \frac{∂ρ}{∂t} + 𝐀·𝐉 ‒ 𝐉·𝐀 + ρφ ‒ φρ = 𝐃·𝐄 ‒ 𝐄·𝐃 + 𝐁·𝐇 ‒ 𝐇·𝐁.$$ Правая часть всегда равна нулю для теорий поля, динамика которых выводится из лоренц-инвариантных лагранжианов.

5. Законы силы и мощности (первая форма):

$$\frac{d(𝐩 + Tr(e𝐀))}{dt} = ‒∇(Tr(e(φ ‒ 𝐯·𝐀))),$$ $$\frac{d(H + Tr(eφ))}{dt} = \frac{∂(Tr(e(φ ‒ 𝐯·𝐀)))}{∂t}.$$

обе частные производные справа берутся, удерживая$e$и$𝐯 = d𝐫/dt$зафиксированный.

6. Законы силы и мощности (вторая форма):

$$\frac{d𝐩}{dt} = Tr(e(𝐄 + 𝐯×𝐇)),$$ $$\frac{dH}{dt} = Tr(e𝐯·𝐄),$$ $$\frac{de}{dt} = Tr((φ‒𝐯·𝐀)e ‒ e(φ‒𝐯·𝐀)),$$ последнее называется уравнением Вонга , которое выполняется только в том случае, если правая часть уравнения непрерывности равна 0; т.е. если$𝐃·𝐄 ‒ 𝐄·𝐃 + 𝐁·𝐇 ‒ 𝐇·𝐁 = 0$.

Уравнение Вонга описывает прецессию калибровочного заряда под действием калибровочного поля. Для изоспина SU(2) эта прецессия находится между состояниями изоспина вверх и изоспина вниз, которые соответствуют соответственно${u,c,t,ν_e,ν_μ,ν_τ}$и их соответствующие партнеры${d,s,b,e,μ,τ}$. (И это применимо только к состояниям левой спиральности для материи и состояниям правой спиральности для антиматерии, что я не хотел подробно вдаваться здесь.)

7. Законы силы и мощности (континуальная форма):

$$𝐅 = Tr(ρ𝐄 + 𝐉×𝐁),$$ $$P = Tr(𝐉·𝐄).$$

Уравнения 1-4 являются, соответственно, составными формами

$$dA + A² = F,$$ $$dF + AF - FA = 0,$$ $$dG + AG - GA = Q,$$ $$dQ + AQ + QA = FG - GF,$$ где аналогичная эффективность достигается за счет объединения алгебры Грассмана дифференциальных форм с алгеброй векторов и ковекторов Ли.

Другие уравнения (5, 6 и 7) также можно записать в терминах естественных операций с дифференциальными формами, но они немного сложнее, и я не буду вдаваться в них здесь. Таким образом, все они представляют собой естественные уравнения, которые не требуют какой-либо фоновой метрики и не зависят от метрической и причинной структуры. Они принимают одинаковую форму независимо от того, снабжено ли лежащее в основе многообразие 4+0 локально евклидовой метрикой, 3+1 локально метрикой Минковского или даже структурой Ньютона-Картана для нерелятивистской теории поля.

Учредительные законы с лагранжианами Янга-Миллса

8. Учредительный закон в вакууме

$$𝐃_a = ε_{0ab} 𝐄^b,$$ $$𝐁^a = μ_0^{ab} 𝐇_b,$$ где$k_{ab} = ε_{0ab} c$и$k^{ab} = μ_0^{ab} c$являются, соответственно, компонентами метрики и обратной метрики для базовой алгебры Ли относительно базисов$(Y_a)$и$(Y^a)$.

Это возникает как уравнения поля действия Янга-Миллса

$$S = ∫ ½ \frac{k_{ab}}{c} (𝐄^a·𝐄^b ‒ 𝐁^a·𝐁^b c²) d⁴x$$ что является прямым обобщением действия Максвелла-Лоренца $$S = ∫ ½ ε₀ (E² ‒ B² c²) d⁴x$$ и показывает, что коэффициент$k ≡ ε₀ c = \sqrt{ε₀/μ₀}$на самом деле является метрикой калибровочной группы для U (1), когда действие Максвелла-Лоренца записывается как действие Янга-Миллса для U (1). Это не «чисто условный» коэффициент, который нельзя «игнорировать» или «определить», но он имеет физический и геометрический смысл: он описывает важнейшую часть самой геометрии U(1), саму — его метрика!

Физическая значимость определяющих коэффициентов и определяющего закона - это точка зрения, которую Хель сделал в контексте электромагнитной теории. В нем содержится важная физика, которая вернется к вам (замаскированной) ниже, в контексте квантовой теории поля, даже если вы попытаетесь удалить ее из классической теории. Что еще более важно, в недекартовых координатах и ​​в искривленном пространстве-времени коэффициент$ε₀c$становится функцией пространственно-временной метрики и координат. Как указывал Хель, это нетривиальным образом описывает конститутивное свойство самого вакуума. Вакуум больше не является чем-то, в чем нет ничего. Метрика считается «чем-то» (как и соединение, но здесь оно напрямую не играет роли), а не «ничего».

В теоретической литературе поля чаще встречаются в гауссовской форме (обозначенной здесь нижним индексом$()₊$):

$$(𝐀₊, φ₊, 𝐁₊, 𝐄₊) = (\sqrt{\frac{4π}{μ₀}} 𝐀, \sqrt{4πε₀}φ, \sqrt{\frac{4π}{μ₀}} 𝐁, \sqrt{4πε₀}𝐄),$$ $$(𝐉₊, ρ₊, 𝐃₊, 𝐇₊) = (\frac{𝐉}{\sqrt{4πε₀}}, \frac{ρ}{\sqrt{4πε₀}}, \sqrt{\frac{4π}{ε₀}} 𝐃, \sqrt{4πμ₀}𝐇),$$ $$(e₊) = (\frac{e}{\sqrt{4πε₀}}),$$ $$(μ₊, ε₊) = (\frac{μ}{μ₀}, \frac{ε}{ε₀}).$$ с доп или без$4π$с.

К сожалению, это запутывает картину, смешивая компоненты метрики калибровочной группы с самими полями. Масштабная зависимость метрики при перенормировке затем смешивается и смешивается с масштабной зависимостью компонент поля и заряда - одна из самых больших ошибок и заблуждений, распространенных в литературе (хотя в литературе есть несколько мест, где это было вызывается как с регуляризацией, так и с перенормировкой, описываемой с точки зрения влияния на определяющие коэффициенты). На самом деле это метрика, которая зависит от масштаба, а не от поля и заряда.

То, как вы можете сказать, что «масштабная зависимость» теории перенормировки на самом деле относится к самой метрике калибровочной группы, заключается в том, что перенормировка для потенциала$A$и напряженность поля$F$идет как$A₊ ⇒ √Z₃ A₊$,$F₊ ⇒ √Z₃ F₊$ когда поля записываются по гауссовскому соглашению , и если вы внимательно изучите и это, и лагранжиан, вы увидите, что лагранжиан выглядит как$½ ε₀ (E² ‒ B²c²) ⇒ ½ Z₃ ε₀ (E² ‒ B²c²)$, как только масштабирование по Гауссу будет удалено. Точно так же масштабирование по Гауссу можно записать с помощью$√ε₀$в числителе, как

$$(𝐀₊, φ₊, 𝐁₊, 𝐄₊) = \sqrt{4πε₀} (c𝐀, φ, c𝐁, 𝐄) ⇒ \sqrt{4πε₀Z₃} (c𝐀, φ, c𝐁, 𝐄) = \sqrt{Z₃} (𝐀₊, φ₊, 𝐁₊, 𝐄₊).$$ Итак, это на самом деле$ε₀$что$Z₃$идет с, а не с$A$,$F$или его компоненты!

Точно так же для калибровочной теории коэффициент$Z₃$принадлежит метрике калибровочной группы$k_{ab}$, который является то, что$ε₀c$соответствует. Чтобы изменить масштаб полей способом, аналогичным гауссовскому соглашению, потребуется сначала извлечь квадратный корень из метрики (т. е. разложение метрики по сингулярным числам). Таким образом, также обычно предполагается, что метрика калибровочной группы является положительно или отрицательно определенной.

Определяющие законы вообще с лоренц-инвариантными лагранжианами

Учредительные законы, изложенные в пункте 8, относятся к делу Янга-Миллса. В более общем смысле, для калибровочной теории, возникающей из действия, заданного выражением

$$S = ∫ 𝔏(𝐀,φ,𝐁,𝐄) d⁴x$$ с лагранжевой плотностью$𝔏$, учредительные законы могут быть записаны: $$𝐃_a = \frac{∂𝔏}{∂𝐄^a}, 𝐇_a = -\frac{∂𝔏}{∂𝐁^a}, 𝐉_a = \frac{∂𝔏}{∂𝐀^a}, ρ_a = -\frac{∂𝔏}{∂φ^a}$$ Применение вариационного $$δ𝔏 = Tr(δ𝐄·𝐃 ‒ δ𝐁·𝐇 + δ𝐀·𝐉 ‒ δφ ρ)$$ и используя уравнения потенциала поля, чтобы уменьшить$δ𝐄$,$δ𝐁$к$δ𝐀$,$δφ$ $$δ𝔏 = Tr((-∇δφ ‒ \frac{∂(δ𝐀)}{∂t} + δ(φ𝐀 ‒ 𝐀φ))·𝐃 ‒ (∇×(δ𝐀) + δ(𝐀×𝐀))·𝐇 + δ𝐀·𝐉 ‒ δφ ρ)$$ интегрировать по частям, чтобы получить: $$δ𝔏 = Tr(∇(-δφ·𝐃 ‒ δ𝐀×𝐇) ‒ \frac{∂(δ𝐀·𝐃)}{∂t} + δφ(∇·𝐃 + 𝐀·𝐃 ‒ 𝐃·𝐀 ‒ ρ) ‒ δ𝐀·(∇×𝐇 ‒ \frac{∂𝐃}{∂t} + 𝐀×𝐇 + 𝐇×𝐀 + φ𝐃 ‒ 𝐃φ ‒ 𝐉))$$ и получить в результате уравнения поля.

Если лагранжиан лоренц-зависим, то зависящая от поля часть лагранжиана будет функцией только его лоренц-инвариантов

$$ℑ^{ab} ≡ ½ (𝐄^a·𝐄^b ‒ 𝐁^a·𝐁^b c²),$$ $$𝔍^{ab} ≡ ½ (𝐄^a·𝐁^b + 𝐁^a·𝐄^b),$$ с результирующим учредительным законом: $$𝐃_a = ε_{ab} 𝐄^b + θ_{ab} 𝐁^b,$$ $$𝐇_a = ε_{ab} c² 𝐁^b ‒ θ_{ab} 𝐄^b,$$ включая осевую версию$θ_{ab}$диэлектрической проницаемости, где коэффициенты являются функциями$ℑ$и$𝔍$ $$ε_{ab}(ℑ,𝔍) = \frac{∂𝔏}{∂ℑ^{ab}}, θ_{ab}(ℑ,𝔍) = \frac{∂𝔏}{∂𝔍^{ab}}$$ такой, что $$\frac{∂ε_{ab}}{∂ℑ^{cd}} = \frac{∂ε_{cd}}{∂ℑ^{ab}}, \frac{∂ε_{ab}}{∂𝔍^{cd}} = \frac{∂θ_{cd}}{∂ℑ^{ab}}, \frac{∂θ_{ab}}{∂𝔍^{cd}} = \frac{∂θ_{cd}}{∂𝔍^{ab}}.$$ Они не должны быть постоянными. В квантованной теории они были бы смоделированы как «постоянные».$ε₀$,$θ₀$которые принимают разный вид в разных масштабах — т. е. сама суть «перенормировки» — и создают соответствующий поток ренормгруппы для полей и заряда, когда они записаны в гауссовой форме.

Следствием этих определяющих законов является то, что правая часть уравнения неразрывности равна 0:

$$𝐃·𝐄 ‒ 𝐄·𝐃 + 𝐁·𝐇 ‒ 𝐇·𝐁 = 0.$$ Следовательно, уравнение неразрывности сводится к $$∇·𝐉 + \frac{∂ρ}{∂t} + 𝐀·𝐉 ‒ 𝐉·𝐀 + ρφ ‒ φρ = 0,$$ и уравнение Вонга (в 6) выполняется.

The $θ$коэффициенты определены только с точностью до аддитивной константы, так как уравнения поля симметричны относительно преобразования

$$(𝐃_a, 𝐇_a) → (𝐃_a ‒ θ_{0ab} 𝐁^b, 𝐇_a + θ_{0ab} 𝐄^b),$$ что является остатком и уменьшенной версией симметрии лица.

Для электромагнетизма условия$(ℑ,𝔍) = (0,0)$определяют нулевое поле - т.е. поле, связанное с чистым излучением. Таким образом, даже для общих лагранжианов мы можем определить значения нулевого поля определяющих коэффициентов (подавляя индексы алгебры Ли):

$$ε₀ ≡ ε(0,0), k₀ = ε₀ c, θ₀ ≡ θ(0,0) = 0.$$ последний может быть установлен в 0, используя приведенное выше преобразование. Соответственно, по теореме Тейлора (то есть: точной форме теоремы Тейлора — с остатком) следует, что все лагранжевы плотности, включающие калибровочные поля, — если лагранжева плотность обладает лоренцевской симметрией — могут быть записаны в виде $$𝔏(ℑ,𝔍) = 𝔏(0,0) + k₀ ℑ + ½ (β₀ ℑ ℑ + β₁ (ℑ 𝔍 + 𝔍 ℑ) + β₂ 𝔍 𝔍).$$ Для слабых полей это сводится к $$𝔏(ℑ,𝔍) ≃ 𝔏_M + 𝔏_{YM}$$ где $$𝔏_M ≡ 𝔏(0,0), 𝔏_{YM} = k₀ ℑ$$ есть лагранжева плотность вещества и всех остальных полей и$𝔏_{YM}$является самим лагранжианом Янга-Миллса.

Конститутивные законы изотропных сред

Если бы лагранжиан был только изотропным (что подходит для изотропных сред), а не буст-инвариантным, то зависящая от поля часть была бы функцией его скалярных инвариантов. В этом случае было бы действительно лучше вернуться к трактовке, более близкой по духу к Максвеллу, используя плотность Рута . $ℜ = 𝔏 + Tr(𝐁·𝐇)$, на месте$𝔏$, с вариационным

$$δℜ = Tr(δ𝐄·𝐃 + δ𝐇·𝐁 + ⋯)$$ который обрабатывает «индукционные» поля$𝐃$,$𝐁$как производные и "силовые" поля$𝐄$,$𝐇$как основополагающее. Соответствующие скалярные инварианты $$ℑ^{ab} = 𝐄^a·𝐄^b, 𝔍^a_b = ½ 𝐄^a·𝐇_b, 𝔎_{ab} = 𝐇_a·𝐇_b$$ с коэффициентами, заданными $$κ_{ab} = \frac{∂ℜ}{∂ℑ^{ab}}, λ_a^b = \frac{∂ℜ}{∂𝔍^a_b}, μ^{ab} = \frac{∂ℜ}{∂𝔎_{ab}}$$ и учредительный закон $$𝐃_a = κ_{ab} 𝐄^b + λ_a^b 𝐇_b,$$ $$𝐁^a = λ_b^a 𝐄^b + μ^{ab} 𝐇_b.$$ Символы диэлектрического коэффициента $κ$и проницаемость $μ$на самом деле восходят к Максвеллу, который придумал названия по аналогии с пружинным коэффициентом$k$и масса$m$. Осевой коэффициент$λ$не был частью чьего-либо изложения классической теории, но включен в список возможностей как есть$θ$. Оба являются псевдоскалярами, и если они равны 0, то оба$κ$и$ε$совпадают:$θ_{ab} = 0 ⇔ λ_a^b = 0 ⇒ κ_{ab} = ε_{ab}$.

В вакууме они связаны с первым набором определяющих коэффициентов следующим образом:

$$ε_{ab} = κ_{ab} ‒ λ_a^c μ⁻¹_{cd} λ_b^d,$$ $$θ_{ab} = λ_a^c μ⁻¹_{cb},$$ $$ε_{ab} c² = μ⁻¹_{ab}.$$ Это отношение является непротиворечивым только в том случае, если$μ$неособый; т.е. если гессиан$\frac{∂²ℜ}{∂𝐇_a ∂𝐇_b}$является неособым. Но это уже предварительное условие для возможности преобразования между плотностью Рута$ℜ$и лагранжева плотность$𝔏$.

Изотропия, вообще говоря, зависит от системы отсчета. Следовательно, эти отношения могут быть поставлены только в одном кадре. Во времена Максвелла и в начале 20 века это называлось стационарной системой отсчета . Для других фреймов они будут иметь вид

Обобщенные соотношения Максвелла-Минковского:

$$𝐁 ‒ α 𝐆 × 𝐄 = λ (𝐄 + 𝐆 × 𝐁) + μ (𝐇 ‒ 𝐆 × 𝐃),$$ $$𝐃 + α 𝐆 × 𝐇 = κ (𝐄 + 𝐆 × 𝐁) + λ (𝐇 ‒ 𝐆 × 𝐃).$$

Для общих значений$α$, это уравнения, подходящие для геометрии, имеющей следующие инварианты:

$$dt² ‒ α(dx² + dy² + dz²)$$ $$((∂/∂x)² + (∂/∂y)² + (∂/∂z)²) ‒ α (∂/∂t)²$$ Он специализируется на отношениях Максвелла-Минковского, когда$α > 0$, со скоростью света$c = \sqrt{1/α}$; к их нерелятивистской версии, когда$α = 0$; и в 4D евклидову форму$α < 0$, который можно было бы использовать для евклидовой теории поля.

В соотношениях Максвелла-Минковского инвариантность относительно бустов (в общем случае) нарушается, и скорость$𝐆$выделяет и идентифицирует выделенную систему отсчета, в которой определяющие отношения сводятся к изотропной форме$𝐁 = λ𝐄 + μ𝐇$,$𝐃 = κ𝐄 + λ𝐇$.

Все это соответственно обобщается на калибровочные поля с коэффициентами$κ$,$λ$и$μ$заменены, соответственно, на$κ_{ab}$,$λ^a_b$и$μ^{ab}$:

$$𝐁^a ‒ α 𝐆 × 𝐄^a = λ^a_b (𝐄^b + 𝐆 × 𝐁^b) + μ^{ab} (𝐇_b ‒ 𝐆 × 𝐃_b),$$ $$𝐃_a + α 𝐆 × 𝐇_a = κ_{ab} (𝐄^b + 𝐆 × 𝐁^b) + λ^b_a (𝐇_b ‒ 𝐆 × 𝐃_b).$$ Матрица продукта$εμ = κμ ‒ λλ^T$тогда будет иметь сингулярное разложение, которое, обобщая отношение$εμ = 1/V²$, что дает скорость волны$V$в среде, будут давать собственные значения, дающие разные скорости волны для разных собственных мод.

Я никогда не видел, чтобы кто-то что-то делал с классическими или квантовыми калибровочными полями для движущихся сред, так что все это может быть новым. Но это очевидное обобщение классической теории движущихся сред для электромагнитной теории, и, возможно, его можно напрямую связать с эффективным лагранжевым подходом, используемым в квантовой теории поля, и фактически придать некоторый точный смысл и дать количественную оценку понятиям «экранирования». или «антиэкранирующий» вакуум и другие формы эффективных сред.