Есть ли хорошая трактовка «знакомой» физики с использованием внешнего исчисления, иначе называемого дифференциальной формой?

Под привычной физикой я подразумеваю физику вещей, до которых можно дотянуться и потрогать. Другими словами, ни относительность, ни аналитическая динамика и т. д.

Перечитав главу 4 « Гравитации» MTW еще раз, я задаюсь вопросом, где же расплата. Точно так же, читая вводные части « Дифференциальных форм с приложениями к физическим наукам » Харли Фландерса, у меня сложилось впечатление, что в какой-то степени внешнее исчисление — это решение в поисках проблемы.

Среди предполагаемых преимуществ, которые Фландерс рекламирует для экстерьера по сравнению с тензорным исчислением, является то, что тензорное исчисление теряет основные понятия в «лабиринте индексов». Но внешнее исчисление имеет свой собственный аналогичный багаж. Такие идеи, как «откат», делают знакомое (перепараметризация) неразрешимым. Действительно, некоторые из этих сложностей во внешнем исчислении можно выразить с помощью сопоставимого лабиринта индексов. См., например, «Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы». Автор: Дэвид Лавлок, Ханно Рунд . Следуя подходу, использованному в книге «Расширенное исчисление нескольких переменных» Ч. Х. Эдвардса-младшего , я придумал несколько симпатичных способов комбинирования мультииндексов и правила суммирования Эйнштейна, которые убедительно сгущают лабиринт индексов внешнего исчисления.

Но до сих пор все методы и приложения внешнего исчисления, с которыми я сталкивался, были довольно продвинутыми. Когда я научился использовать векторы, мне не понадобился весь арсенал теории, чтобы продуктивно их использовать. Я мог бы и, вероятно, должен был выучить тензоры таким же образом. Я могу честно сказать, что никогда по-настоящему не понимал тензоры, пока не применил их к таким знакомым темам, как потоки жидкости и эластичность. В частности, градиент поля скоростей открыл мне глаза.

Существует ли какое-либо рассмотрение «знакомой» физики с использованием дифференциальных форм, которое иллюстрирует их применимость, не добавляя интеллектуального вызова более эзотерическим темам, таким как электромагнитная 2-форма или симплетическая геометрия фазового пространства? Может случиться так, что такие приложения не были сделаны просто потому, что это равносильно «изобретению велосипеда». Эти темы успешно проработаны с использованием методов вводной физики и поэтому неинтересны мастерам дифференциальных форм. Меня интересует такая избыточность.

Какие-либо предложения?

Все векторное исчисление (и, следовательно, все E&M, механика жидкости и т. д.) может быть сформулировано с использованием дифференциальных форм, и существует множество его педагогических описаний с математической точки зрения. Однако, если только вы не имеете дело с пространством-временем, более сложным, чем (3+1)-мерное Минковского, это требует значительных дополнительных усилий для очень небольшого реального улучшения.
Меня не очень интересует "улучшение" как таковое. Я заинтересован в том, чтобы познакомиться с дифференциальными формами в области, в которой применимы мои «наивные» рассуждения. То, что дуальная по Ходжем плотность 4-токов равна зарядовой 3-форме в пространстве Минковского, не сразу понятно моей интуиции.
Я не согласен с @Buzz и хотел бы возразить, что более распространенная нотация излишне неуклюжа и не по делу. Есть довольно старая книга Вестенгольца и книга Накахара "Геометрия, топология и физика" посвящена более современным приложениям. (Но я должен предупредить вас: если вы будете следовать им, вы, вероятно, не захотите смотреть ни на одно из традиционных изложений, скажем, теории Максвелла. ;-)
Из того, что я читал, дифференциальные формы являются частным случаем тензорной алгебры с некоторыми элементами, взятыми в частном порядке равными нулю.

Ответы (2)

Включаете ли вы термодинамику в «общепринятую физику»? Если да, то я не могу предложить вам ссылку на печатные книги (хотя не исключаю, что они есть). Я разработал такую ​​трактовку почти 30 лет назад, когда преподавал общую физику I, полный год, 1-й курс (19) курса физики в Пизанском университете (Италия). Доступны конспекты лекций, но на итальянском языке.

Я дам вам набросок специального рассуждения, доказательства следующей теоремы:

Если термодинамическая жидкость подчиняется уравнению состояния

(1) п В "=" р Т
тогда внутренняя энергия зависит только от температуры.

(Доказательство схематично еще и потому, что остаются непонятными некоторые необходимые предыдущие шаги.)

1) Известны две дифференциальные формы: ю для тепла, λ для работы. Первый принцип формулируется как

λ + ю "=" г U .

2) Работа есть λ "=" − п г В , тепло ю "=" Т г С . Затем

(2) г U "=" Т г С − п г В .

3) Дифференциация (2)

(3) г Т ∧ г С "=" г п ∧ г В .

4) Дифференциация (1)

п г В + В г п "=" р г Т .
Внешний продукт с г В дает
(4) В г п ∧ г В "=" р г Т ∧ г В .

5) Из (1) имеем В "=" р Т / п и подставляя в (4)

Т г п ∧ г В "=" п г Т ∧ г В
и используя (3)
Т г Т ∧ г С "=" п г Т ∧ г В
г Т ∧ ( Т г С − п г В ) "=" 0
или, по (2)
(5) г Т ∧ г U "=" 0.

6) Ранее было показано, что если для двух скалярных функций ф , г надо г ф ∧ г г "=" 0 затем ф и г функционально зависимы, т. е. (грубо говоря) одно является функцией другого. Тогда (5) доказывает теорему.

Мне придется подумать о вашем примере. В аналогичном замечании: я думаю, что подход дифференциальных форм может быть применим к сложной задаче создания «очевидных» основ кинетической теории газов. hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Kinetic/kinthe.html#c2 Возможно, это не уменьшит количество маханий руками, но может дать альтернативный взгляд. Вместо того, чтобы говорить о частицах, прыгающих туда-сюда между стенками, подсчитайте количество «стенок», через которые проходит средняя молекула. Представьте плотность «стены», используя 1-форму.

Я хотел предложить Фландрию, но, видимо, вы уже это знаете и вам это не понравилось. В любом случае, глядя на ваши вопросы, кажется, что вы боретесь с дифференциальной геометрией в целом.

По этой причине я хотел бы предложить Fecko: дифференциальная геометрия и группы Ли для физиков. Вполне неплохое и приятное чтение.

Есть ли хорошая трактовка «знакомой» физики с использованием внешнего исчисления, иначе называемого дифференциальной формой?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v