Дифференциальные формы или тензоры для современной теоретической физики?

Это очень хороший вопрос!

Позвольте мне сначала попытаться рассмотреть вопрос о дифференциальных формах и тензорах. Во-первых, как уже упоминалось в Qmechanics, дифференциальные формы являются особым типом тензоров. Однако, конечно, не все тензоры, важные для физики, являются дифференциальными формами. Примером могут служить векторные поля, которые представляют собой другой вид тензоров. Они появляются повсюду в геометрии. Просто упомянем, что бесконечно малые преобразования физической теории представлены векторными полями на ее многообразии состояний. Однако общие тензоры можно построить, взяв тензорные произведения векторов и 1-форм (которые являются простейшим видом дифференциальных форм). В координатах$x^\mu$, векторы натянуты на$\frac{\partial}{\partial x^\mu}$в то время как 1-формы охватываются$\text{d}x^\mu$. Примеры этих более общих тензоров:

• Общий$k$-формы $$\omega=\frac{1}{k!}\omega_{\mu_1\cdots\mu_k}\text{d}x^{\mu_1}\otimes\cdots\otimes\text{d}x^{\mu_k},$$ с$\omega_{\mu_1\cdots\mu_k}$полностью антисимметричны. Это объекты, которые можно интегрировать в многообразия размерности$k$. Примером этого является симплектическая форма гамильтоновой механики.
• Метрики $$g=g_{\mu\nu}\text{d}x^\mu\otimes\text{d}x^\nu,$$ с$g_{\mu\nu}$полностью симметричный. Это не дифференциальная форма. Однако он построен из 1-форм. Они являются ключевыми для определения релятивистского пространства-времени.
• Обратная метрика $$g^{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial x^\mu}\otimes\frac{\partial}{\partial x^\nu},$$ с$g^{\mu\nu}g_{\nu\rho}=\delta^\mu_\rho$. Это снова не дифференциальная форма. Он даже не построен из 1-форм!

Теперь в общей теории относительности иногда может показаться, что все построено из дифференциальных форм, потому что большой класс тензоров (ковариантных тензоров, у которых все индексы опущены) может быть построен из$1$-формы. В частности, когда у нас есть метрика, мы можем записать все тензоры так, как если бы они были ковариантными, понизив все индексы. То же самое происходит и в классической механике, если у нас есть симплектическая форма. Однако, конечно, и в этих случаях не все тензоры являются дифференциальными формами. Более того, бывают физические ситуации, когда нет ни метрик, ни симплектических форм, когда не все тензоры можно построить из 1-форм, а также нужны векторные поля. Это, например, случай ньютоновского пространства-времени, где нет метрики и требуются векторные поля для описания, скажем, скорости частицы.

Учитывая это, по моему опыту (который, я признаю, очень ограничен), физики-теоретики все чаще и чаще имеют очень четкое понимание основ дифференциальной геометрии (и многое другое!). Это включает в себя понимание тензоров в целом. Я думаю, что из-за огромного количества применений предмета в физике, безусловно, стоит попытаться изучить этот предмет.

Рекомендации:

1. Взгляните на этот плейлист профессора Фредерика Шуллера по общей теории относительности . Эта серия лекций и следующая стали очень известными. Я встречал людей по всему миру, которые изучали предмет, наблюдая за ними.
2. Следующий плейлист того же профессора посвящен общей дифференциальной геометрии . Он начинается на более базовом уровне, чем предыдущие, и фокусируется на других темах геометрии, которые представляют интерес в областях, отличных от общей теории относительности. Он, безусловно, более глубок, чем 1. Однако, хотя он предназначен для физиков и, безусловно, все затронутые темы очень важны для современной физики, курс не охватывает многих приложений. Поэтому мне было труднее смотреть. Сначала я увидел 1., а затем, по мере появления тем в моих занятиях по физике, я увидел разные части 2. Некоторые утверждают, что современное понимание физики частиц (даже на классическом уровне) уже требует всего материала 2.
3. Книга «Геометрия, топология и физика» Накахара является классикой в ​​этом отношении. Однако сначала мне было трудно читать. Тем не менее, после просмотра вышеперечисленных лекций мне это очень нравится. Кроме того, он охватывает многие другие темы, относящиеся к физике за пределами области дифференциальной геометрии, которые являются ключевыми в наши дни.
4. Я бы также упомянул «Введение в риманову геометрию: с приложениями к механике и относительности Годиньо и Натарио». Подобно ссылке 1. целью этой книги является риманова геометрия, а не дифференциальная геометрия. Тем не менее, это все еще отличное введение, и я нашел главы о приложениях очень полезными!
5. Однако я думаю, что лучшее, что может сделать студент, интересующийся геометрией, — это изучить стандартные справочники математиков. Они самые понятные и простые в использовании, на мой взгляд. Когда вам нужно вдохновение для физических приложений, вы всегда можете обратиться к ссылкам выше. Классическими учебниками по математике являются «Введение в многообразия» (прочитайте это в первую очередь) Ту и «Введение в гладкие многообразия » Ли. Эти два автора написали другие учебники по геометрии, которые также очень полезны.