Есть ли простое доказательство того, что законы Кирхгофа всегда дают точно полный набор уравнений?

Ответ не совсем простой, чтобы показать это, нам понадобится теория графов и матрицы. Существует прекрасный документ, подробно объясняющий это отношение:

Графы, матрицы и теория цепей . Такис ​​Константинопулус, февраль 2000 г.

Доступно в Semantic Scholar ; исходная ссылка в Университете Упсалы (уже мертва; архивная версия ).

Я думаю, что «фундаментальная причина» этого связана с тем фактом, что каждый цикл имеет разные переменные, если мы можем создать цикл, используя другой цикл, уравнения не будут независимыми, конечно, это мое мнение, вся математика находится в документ.

Вот контрпример:

Предположим, две одинаковые идеальные батареи (с нулевым внутренним сопротивлением) соединены параллельно через один резистор; эквивалентно, замените один из резисторов на вашей схеме второй такой же батареей. Также предположим, что проводящие провода идеальны (опять же, без сопротивления).

Законы Кирхгофа в этом случае приводят к недоопределенной системе. Если ток через единственный резистор равен I , а напряжение на обеих идеальных батареях равно V , вы не можете найти ток через любую батарею, используя только законы Кирхгофа; обе петли дают напряжение на резисторе как V , и оба соединения говорят, что сумма токов через батареи должна равняться I , но не позволяют вам вычислить ни один из этих токов. Например, ток 3 л вверх через одну батарею и 2 л вниз через другую удовлетворяет системе уравнений. В этом случае вы должны использовать аргумент симметрии, чтобы сделать вывод, что ток через каждую батарею равен I /2.

Это не проблема при использовании реального оборудования, поскольку источники напряжения всегда имеют определенное внутреннее сопротивление. Итак, если мы согласны использовать неидеальные элементы схемы, то я согласен с ответом, предоставленным @Hu.

Это косвенно поднимает другой вопрос; Имеют ли смысл законы Кирхгофа в идеальных схемах? Я уверен, что есть еще много примеров, подобных приведенному выше, где результирующая система линейных уравнений недоопределена (хотя я сомневаюсь, что есть случаи, которые переопределены). Мы используем идеальные ситуации для моделирования реальных систем, но хорошая ли это идея, когда ответы в идеальном случае не определены?

Этот ответ адаптирован из задачи 1.4 в Používáme linearní algebru , книге решенных задач по линейной алгебре (бесплатно доступной в Интернете, но, к сожалению, только на чешском языке, AFAIK). Я покажу это при следующих предположениях:

• Мы имеем дело с цепью постоянного или (низкочастотного) переменного тока, единственными элементами которой являются резисторы и идеальные источники напряжения.
• Каждый край цепи имеет ненулевое (положительное) сопротивление,

Законы цепи Кирхгофа дают уникальное решение для тока и напряжения на каждом элементе цепи.

Сначала несколько комментариев. Уникальность легко понять на физическом основании. Линейность законов Кирхгофа подразумевает, что может быть более одного решения, если одна и та же цепь с удаленными источниками (т. е. их напряжение установлено на ноль без изменения топологии цепи) может поддерживать нетривиальные токи. Предположение о положительном сопротивлении каждого края цепи делает это физически невозможным из-за сохранения энергии. По той же причине я считаю, что то же утверждение справедливо для цепей переменного тока с другими элементами, кроме резисторов, если импеданс каждого края имеет положительную действительную часть. Однако мне не сразу очевидно, как приведенный ниже аргумент обобщается на этот случай. Также легко увидеть, что отказ от предположения о положительном сопротивлении может привести как к неоднозначности решения, так и к патологиям: см. ответы Райана Хейзелтона и Альфреда Центавра. Наконец, тот же аргумент должен применяться к схемам с идеальнымисточники тока из-за двойственности между двумя типами источников; предположение об идеальных источниках напряжения сделано только для простоты обозначений.

Теперь к делу. Я буду предполагать WLOG, что схема представлена ​​связным графом; в противном случае просто рассматривают все связанные компоненты один за другим. Аргумент по существу следует методу узлового напряжения . На первом этапе мы понимаем, что второй закон Кирхгофа (напряжение) эквивалентен существованию потенциала на графике. Предположим, что цепь имеет$N$вершины (узлы). Мы можем выбрать потенциал одного из них произвольно, скажем$u_1=0$. Тогда для данного решения законов Кирхгофа мы можем получить потенциал$u_i$принадлежащий$i$-й вершины путем сложения падений напряжения на резисторах и напряжений, отдаваемых источниками по любому пути, соединяющему$i$-я вершина в$u_1$. Второй закон Кирхгофа гарантирует, что результат для$u_i$не зависит от выбора пути и, следовательно, хорошо определена.

На втором этапе мы имеем дело с системой уравнений для неизвестных потенциалов$u_2,\dotsc,u_N$, подразумеваемый первым (действующим) законом Кирхгофа. Мы рассматриваем только вершины$2,\dotsc,N$, который дает$N-1$уравнения для$N-1$неизвестные потенциалы. Уравнение для$i$-я вершина читается символически

$$\sum_j\frac1{R_{ij}}(u_i-u_j+U_{ij})=0,$$ где сумма по всем вершинам$j$подключен к$i$по краю,$R_{ij}$обозначает сопротивление на краю$ij$, а также$U_{ij}$напряжение, подаваемое источниками в них. Мы можем записать эту систему уравнений в матричной форме,$M\vec u=\vec U$, куда$\vec u=(u_2,\dotsc,u_N)^T$а также$\vec U$содержит исходные данные. Диагональные элементы матрицы$M$находятся $$M_{ii}=\sum_j\frac1{R_{ij}},$$ тогда как недиагональные элементы $$M_{ij}= \begin{cases} -1/R_{ij}\text{ if $i$ and $j$ are connected and $j\neq1$,}\\ 0\text{ otherwise.} \end{cases}$$ Положительность всех сопротивлений означает, что $$\sum_{j\neq i}|M_{ij}|\leq|M_{ii}|$$ для всех$i=2,\dotsc,N$. Более того, есть такие$i$(соединенные ребром с$u_1$), для которого выполняется строгое неравенство. Это означает, что матрица$M$является диагонально доминирующим и, следовательно, обратимым. Это гарантирует, что система уравнений для потенциалов$u_2,\dotsc,u_N$имеет единственное решение.

Зная все потенциалы, можно легко восстановить токи по всем краям цепи. Ток через край$ij$является, символически,

$$I_{ij}=\frac1{R_{ij}}(u_i-u_j+U_{ij}).$$ Это завершает аргумент и математически показывает, почему предположение о положительном сопротивлении является достаточным условием для установления существования единственного решения. В более общем случае единственное решение существует всякий раз, когда определенная выше матрица$M_{ij}$, зависящий от топологии цепи и сопротивлений, но не от источников, несингулярный. Должен$M_{ij}$быть сингулярным, может быть более одного решения или вообще не быть решений, как известно из линейной алгебры .

всегда есть достаточно уравнений, чтобы зафиксировать все (линейная система никогда не недоопределена).

Вот простая идеальная схема, состоящая из источника тока, управляемого напряжением (VCCS), и резистора, где ток резистора$I_R$не определяется уравнениями цепи:

Напряжение на резисторе (верхний вывод положительный) определяется законом Ома:

$$V_R = I_R\cdot 1\Omega$$

Напряжение управления VCCS равно$V_R$по КВЛ, а ток резистора равен току ВКУ по ККЛ. Таким образом, ток резистора определяется выражением

$$I_R = V_R \cdot 1\mho$$

и поэтому уравнения схемы дают

$$I_R = I_R\cdot 1\Omega\cdot 1\mho = I_R$$

То есть любое значение для$I_R$решает эту схему.

---

Обновление для устранения этого комментария:

В вопросе перечислены разрешенные компоненты. VCCS не является одним из них. — Бен Кроуэлл 1 час назад

Фактически, в вопросе перечислены (1) резисторы, (2) источники напряжения и (3) источники тока в качестве разрешенных компонентов в соответствии с вводным предложением:

Предположим, у меня есть сложная электрическая цепь, состоящая исключительно из резисторов, источников напряжения и тока...

Теперь VCCS является текущим источником . Термин «источник тока», без уточнения как независимого , так и зависимого (управляемого) , может относиться к любому типу.

Идеальный источник тока генерирует ток, который не зависит от изменения напряжения на нем. ... Если ток через идеальный источник тока может быть указан независимо от любой другой переменной в цепи, он называется независимым источником тока . И наоборот, если ток через идеальный источник тока определяется каким-либо другим напряжением или током в цепи, он называется зависимым или управляемым источником тока .

Возможно , Эмилио интересуют только схемы с независимыми источниками для этого вопроса. Но это, конечно, не тот случай, когда в вопросе прямо говорится об этом, и не тот случай, когда можно сделать рациональный вывод о том, что зависимые источники явно исключены из рассмотрения.

Итак, если и пока Эмилио не отредактирует свой вопрос, чтобы прямо указать, что следует рассматривать только схемы с резисторами и независимыми источниками, я оставлю этот ответ как есть.

Вторая проблема решает первую. Если из измерений известно достаточно данных, то состояние системы определяется однозначно. Если было измерено более чем достаточно данных, это не повлияет на решение, если, конечно, предположения Кирхгофа не выполняются или уравнения Максвелла ошибочны.

Что касается запрошенных фундаментальных причин, то законы Кирхгофа прямо следуют из уравнений Максвелла, которые подразумевают сохранение тока и обращение в нуль${\bf \nabla} \times {\bf E}$согласно предположениям Кирхгофа.