Есть ли способ измерить это наблюдаемое в QM?

Пусть квантовая система описывается гильбертовым пространством ЧАС и разреши | ψ ⟩ быть произвольным состоянием. Определите оператора

п "=" | ψ ⟩ ⟨ ψ |

Это эрмит. Он имеет два собственных значения: 0 и 1 с двумя собственными пространствами. 1 собственное пространство - это подпространство, натянутое на | ψ ⟩ , другими словами

ЧАС 1 "=" { λ | ψ ⟩ : λ е С }

в то время как собственное пространство, соответствующее нулю, является его ортогональным дополнением ЧАС 2 "=" ЧАС 1 ⊥ .

Поскольку это одна наблюдаемая, можно было бы ожидать, что ее можно измерить . Но как физически можно произвести такое измерение?

Дело в том, что п не соответствует напрямую физической величине, такой как импульс, энергия или угловой момент, которые один экспериментатор знал бы о процедуре измерения в лаборатории.

Дело в том, что если А - одна физическая величина с собственными пространствами ЧАС λ соответствующие значениям λ е о ( А ) постулаты квантовой механики позволяют нам сказать: «хорошо, состояние системы лежит в ЧАС λ "если, когда мы измеряем А мы получаем λ .

Это, в частности, позволяет нам подготовить систему в любом собственном состоянии любой физической величины, которую мы можем измерить. Но подготовка к произвольным состояниям все еще кажется мне несколько странной.

Конечно, если измерять п возможно, мера п доходная стоимость 1 подготовил бы систему в штате | ψ ⟩ .

Итак, есть ли какой-нибудь «обобщенный способ» измерить эту наблюдаемую?

Почему вы думаете, что только потому, что вы определили оператор с собственными значениями, это означает, что эти собственные значения должны быть чем-то, что можно физически измерить? Мы знаем, что классические величины, такие как положение или импульс, имеют соответствующие операторы в КМ, но обратное не обязательно верно. Мы не можем просто создать оператор и сказать, что он должен быть физически измеримым.
В принципе можно измерить математическое ожидание любого оператора, не только эрмитовых. Однако сделать это на практике может быть сложно (как и многие другие вещи).

Ответы (4)

Учитывая описание | ψ ⟩ , есть две возможности. Либо вы знаете, как применить унитарный оператор U , который отображает стандартное базисное состояние, которое вы можете измерить, скажем, | 0 ⟩ , к этому или нет. В любом случае этот унитарный оператор U существует; так что давайте предположим, что вы тоже это знаете. Я также должен отметить, что с точки зрения вычислительной сложности, для общего случая, это трудная задача.

Предполагая, что вы знаете U , то вы можете подать заявку U † своему оператору:

Вопрос "=" U † п U   .
И тогда вы можете сделать измерение в стандартной основе.

В качестве примечания, давайте предположим, что в вашей лаборатории или на квантовом компьютере вы можете применить только набор ограниченных стандартных вентилей: { U 1 , U 2 , ⋯ , U Н } е г . Если г является универсальным, гарантируется, что вы можете аппроксимировать любой унитарный оператор с желаемой точностью с его операторами.

Не поделится ли отрицательный голос своими мыслями о том, что, по их мнению, неверно или отсутствует в моем ответе?

Процедура измерения — это всего лишь унитарный оператор, действующий на тензорное произведение системы и экспериментального устройства, который максимально их запутывает. В наблюдаемом проекторе, о котором мы говорим, результат измерения равен либо 0, либо 1, поэтому устройство может состоять из одного кубита с «классическими» состояниями. | 0 ⟩ и | 1 ⟩ которые появляются на экране нашего устройства, когда мы нажимаем «большую красную кнопку».

Гамильтониан может быть чем угодно, это дело техники. Мы выберем его так, чтобы спустя время Т , это индуцирует унитарную эволюцию

U "=" ( 1 − п ) ⊗ ( | 0 ⟩ ⟨ Икс | + | Икс ⟩ ⟨ 0 | ) + п ⊗ ( | 1 ⟩ ⟨ Икс | + | Икс ⟩ ⟨ 1 | ) ,
где | Икс ⟩ является начальным состоянием измерительного устройства, состоянием, которое мы можем надежно подготовить для нашего устройства, нажав кнопку «сброс». Это можно проверить U является унитарным. Гамильтониан, который производит этот оператор через время Т является ЧАС "=" − я ℏ бревно ⁡ U / Т .

Для проведения измерения подготавливаем наше устройство в состоянии | Икс ⟩ нажатием кнопки сброса. Затем мы приводим его в контакт с неизвестным состоянием | ψ 0 ⟩ На время Т , после чего комбинированное состояние эволюционировало в

U ( | ψ 0 ⟩ ⊗ | Икс ⟩ ) "=" ( 1 − п ) | ψ 0 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ + п | ψ 0 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ .
Затем мы нажимаем большую красную кнопку, и теперь машина либо читает 0, либо состояние ( 1 − п ) | ψ 0 ⟩ (что мало что нам говорит) или машина считывает 1 и состояние равно п | ψ 0 ⟩ ∼ | ψ ⟩ , который рассказывает нам все о системе.

Вы можете думать об этом как о машине подготовки состояния для | ψ ⟩ который отображает 0 в случае неудачи и 1 в случае успеха. Количество компонентов, используемых для реализации U и сколько раз вы должны нажать на большую красную кнопку, являются мерой квантовой сложности состояния | ψ ⟩ .

Я рекомендую заметки Джона Прескилла (pdf) , чтобы узнать (гораздо больше).

Это меня смущает. Какое состояние мы используем для определения оператора проекции? Кроме того, этот пример и «машина подготовки состояния, которая отображает 0 в случае неудачи» - это две разные вещи. Вы можете иметь состояние, которое не ψ но он все еще может иметь проекцию вдоль ψ
п "=" | ψ ⟩ ⟨ ψ | и начальное состояние | ψ 0 ⟩ . Как только измерение выполнено и результат равен 1, состояние п | ψ 0 ⟩ ∼ | ψ ⟩ , как я сказал. Это обычный «коллапс волновой функции», о котором говорят. Измерение и подготовка состояния — это одно и то же, если подумать.

Допустим, система находится в состоянии | ф ⟩ , и вы хотите измерить указанный оператор п "=" | ψ ⟩ ⟨ ψ | , т.е.

⟨ ф | п | ф ⟩ "=" ⟨ ф | ψ ⟩ ⟨ ψ | ф ⟩ "=" | ⟨ ф | ψ ⟩ | 2   .
Это то, что вам нужно измерить, это перекрытие двух состояний. Есть разные способы сделать это, но «каноническим» способом будет подготовка | ψ ⟩ (в дополнение к | ф ⟩ , который является входом в вашу схему измерения), а затем пусть они мешают. Степень помех, которую вы увидите (при многократном проведении эксперимента), будет в точности соответствовать
| ⟨ ф | ψ ⟩ | 2 "=" ⟨ ф | п | ф ⟩   .
(Более формально, в Quantum Information есть концепция «теста обмена», который позволяет вам измерить указанное перекрытие.)

Спасибо за ваш ответ @NorbertSchuch. Что меня действительно беспокоит, так это то, как можно готовиться | ψ ⟩ . Причина в том, что в системе со спином 1/2 для подготовки состояния | ↑ ⟩ можно было бы точно измерить С г . Сейчас если | ψ ⟩ не соответствует простой физической величине, как его можно получить? Если это слишком сложно для поста здесь, ссылки по этому вопросу будут оценены. Спасибо!
@ user1620696 Это хороший момент. Но вы согласны, что для любого состояния, которое вы можете записать, должна быть процедура подготовки? В противном случае, почему бы нам не выкинуть все состояния, которые мы не можем подготовить, из квантовой теории, что сделало бы ее намного проще (поскольку все, что нам нужно, это, скажем, собственные состояния положения для описания всей квантовой физики)?
Я согласен в том смысле, что мне кажется интуитивно понятным, что все состояния должны быть достижимы посредством подходящей временной эволюции . Другими словами, интуитивно мне кажется очевидным, что для произвольного | ψ ⟩ есть | ψ 0 ⟩ собственное состояние некоторой простой физической величины и гамильтониан ЧАС такой, что если U ( т ) есть соответствующая временная эволюция т 0 такой, что U ( т 0 ) | ψ 0 ⟩ "=" | ψ ⟩ . Хотя у меня есть эта интуиция, я не уверен, что это строго верно.
@user1620696 user1620696 Это центральный вопрос квантовой информации: какой набор гамильтонианов или унитарных единиц является универсальным , т. е. позволяет нам строить произвольные унитарные единицы, и как мы на самом деле строим (или хорошо аппроксимируем) такую ​​унитарную систему с учетом универсального набора.

Данный | ψ ⟩ , всегда можно сделать машину, производящую столько же копий | ψ ⟩ ⟨ ψ | чистые состояния по мере необходимости. Измеряя копии состояния, вы будете измерять собственное пространство значения λ "=" 1 для вашего наблюдаемого

Измерение собственного пространства λ "=" 0 менее прямолинеен, так как требует определения гораздо большего подпространства состояний, ортогонального вашему | ψ ⟩

Вышеупомянутая процедура может быть выполнена до тех пор, пока | ψ ⟩ известен. Теорема о запрете клонирования запрещает вам создавать вышеуказанную машину, если у вас недостаточно информации о ней, и все, что у вас есть, это физический экземпляр квантового состояния.

Спасибо за ответ! Итак, дело в том, что если мы знаем | ψ ⟩ мы действительно можем создать машину, которая производит копии этого состояния. А теперь не могли бы вы подробнее рассказать о том, как это будет сделано, или, если это слишком сложно, предоставить дополнительную ссылку? Кроме того, как можно «измерять госэкземпляры»? Потому что опять же, с моей наивной точки зрения кажется, что все, что мы можем измерить, — это физические величины, такие как энергия, импульс, угловой момент и т. д. Но я, вероятно, явно упускаю здесь что-то очень важное. Еще раз спасибо!
Что вы подразумеваете под «измерением государственных копий»?
Как это объясняет, как измерить ожидаемую ценность п в каком-то произвольном состоянии | ф ⟩ ?
Есть ли способ измерить это наблюдаемое в QM?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v