Как вычислить состояние квантовой системы после несовершенного измерения?

Question

Как вычислить состояние квантовой системы после несовершенного измерения?

Физика
измерения
оператор плотности
квантовая механика
задача измерения
квантовая информация

Даниэль Санк

Предположим, у меня есть квантовая система $S$ («система») с гамильтонианом $H_S$ и начальная матрица плотности $\rho_S(0)$ . я разрешаю $S$ взаимодействовать с другой системой $P$ («зонд»), который имеет гамильтониан $H_P$ и исходное состояние $\rho_P(0)$ , через гамильтониан взаимодействия $H_I$ . Затем я измеряю $P$ в основе оператора $\hat{Q}$ .

Предположим, что мое классическое считывающее устройство несовершенно: если $P$ находится в состоянии $\lvert q \rangle$ которое является собственным состоянием $\hat{Q}$ с собственным значением $q$ , то мой считыватель выдает цифры $q_\text{readout}$ согласно статистическому распределению, которое зависит от $q$ . Например, у нас может быть случай, когда считываемое значение распределено по Гауссу относительно $q$ , т.е.

п (д_{зачитать} | д) знак равно \frac{1}{\sqrt{2 π о^{2}}} опыт [- \frac{(д_{зачитать} - д)^{2}}{2 о^{2}}] .

$P(q_\text{readout} | q) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp \left[ - \frac{(q_\text{readout} - q)^2}{2 \sigma^2} \right] \, .$

Учитывая гамильтонианы $H_S$ , $H_P$ , $H_I$ , начальные состояния $\rho_S$ а также $\rho_P$ , функция $P(q_\text{readout}|q)$ , и реализованное измеренное значение $q_\text{readout}$ , какие концепции/подходы используются для определения состояния объединенной системы $S \otimes P$ после измерения? Как изменится результат, если измеряемое значение $q_\text{readout}$ игнорируется?

Допустимым упрощением было бы взять состояние комбинированной системы $\rho_{S P}$ после шага взаимодействия как известная величина. Другими словами, нас не так сильно интересует вычисление эволюции $S \otimes P$ при взаимодействии $H_I$ . Однако я думаю, что независимо от того, $H_I$ коммутирует с $H_S$ оказывается важным.

Заметки

В то время как пример распределения вероятностей (т. е. гауссовское) является непрерывным, спектр $\hat{Q}$ , и/или распределение $P(q_\text{readout}|q)$ может быть дискретным. Я полагаю, что даже возможно иметь один непрерывный, а другой дискретный!

Ресурсы

Простое введение в непрерывные квантовые измерения Джейкобса и Стека.

Даниэль Санк

Я избегал просить полного педагогического развития теории, относящейся к этому вопросу, в отношении политики сайта в отношении домашних заданий. Однако я думаю, что пример и некоторые конкретные уравнения облегчат понимание любого более общего ответа. Другими словами, я не прошу учебник, но, пожалуйста, напишите его в любом случае :P

Дэйвид

Хорошей ссылкой являются первые 50 страниц книги Брагинского по квантовым измерениям: amazon.com/Quantum-Measurement-Vladimir-B-Braginsky/dp/… Я думаю, что она прямо касается косвенных, «неортогональных» измерений.

Норберт Шух

Правильно ли я понимаю, что ваше «несовершенное измерение» можно описать совершенным измерением

\hat{Q}

$\hat Q$ , за которым следует классическое «скремблирование», например, после распределения Гаусса?

Даниэль Санк

@NorbertSchuch Я не задумывался об этом различии. Можно ли описать задачу так, чтобы предлагаемый вами случай рассматривался как частный случай более общего?

Норберт Шух

В случае, который я описываю, должно быть довольно просто понять, как описать состояние после измерения. (Ответ, если вы игнорируете

q_{r e a d o u t}

$q_\mathrm{readout}$ является даже непосредственным.) Если ситуация иная, ваша проблема явно недоопределена (и я даже не знаю, что вы подразумеваете под "

P

$P$ находится в состоянии

| q ⟩

$\vert q\rangle$ "). В крайнем случае представьте, что вы ничего не измеряете , а просто выводите какие-то случайные

q_{r e a d o u t}

$q_\mathrm{readout}$ (или, что более реалистично, вы пытаетесь описать «слабое» измерение с минимальными помехами, которое не теряет никакой информации сверх необходимой).

Ответы (1)

Как вычислить состояние квантовой системы после несовершенного измерения?

Я избегал просить полного педагогического развития теории, относящейся к этому вопросу, в отношении политики сайта в отношении домашних заданий. Однако я думаю, что пример и некоторые конкретные уравнения облегчат понимание любого более общего ответа. Другими словами, я не прошу учебник, но, пожалуйста, напишите его в любом случае :P
Хорошей ссылкой являются первые 50 страниц книги Брагинского по квантовым измерениям: amazon.com/Quantum-Measurement-Vladimir-B-Braginsky/dp/… Я думаю, что она прямо касается косвенных, «неортогональных» измерений.
Правильно ли я понимаю, что ваше «несовершенное измерение» можно описать совершенным измерением $\hat Q$ , за которым следует классическое «скремблирование», например, после распределения Гаусса?
@NorbertSchuch Я не задумывался об этом различии. Можно ли описать задачу так, чтобы предлагаемый вами случай рассматривался как частный случай более общего?
В случае, который я описываю, должно быть довольно просто понять, как описать состояние после измерения. (Ответ, если вы игнорируете $q_\mathrm{readout}$ является даже непосредственным.) Если ситуация иная, ваша проблема явно недоопределена (и я даже не знаю, что вы подразумеваете под " $P$ находится в состоянии $\vert q\rangle$ "). В крайнем случае представьте, что вы ничего не измеряете , а просто выводите какие-то случайные $q_\mathrm{readout}$ (или, что более реалистично, вы пытаетесь описать «слабое» измерение с минимальными помехами, которое не теряет никакой информации сверх необходимой).

Даниэль · Answer 1

Предполагая, что система и зонд изначально не коррелированы, начальная матрица плотности равна

р (0) знак равно р_{С} (0) \otimes р_{п} (0) .

$\rho(0) = \rho_S(0) \otimes \rho_P(0).$

После взаимодействия некоторое время $t$ , система и зонд запутались

р (т) знак равно е^{- я {ЧАС}_{полный} т} р (0) е^{я {ЧАС}_{полный} т} \equiv р_{С п} .

$\rho(t) = e^{-i H_{\text{full}}t}\rho(0)e^{iH_{\text{full}}t} \equiv \rho_{SP}.$

Тогда наблюдаемая $\hat Q$ измеряется, что можно записать

\hat{Вопрос} знак равно \sum_{д} д {\hat{Π}}_{д}, с {\hat{Π}}_{д} знак равно \sum_{Дж} | д, Дж ⟩ ⟨ д, Дж |,

$\hat Q = \sum_q q\hat\Pi_q,\qquad\text{with}\quad\hat\Pi_q=\sum_j|{q,j}\rangle\langle{q,j}|,$ т.е.,

\hat{Q}

$\hat Q$ имеет дискретный спектр (непрерывный предполагает замену суммы интегралом), где собственное значение

q

$q$ имеет собственное пространство, натянутое на

| q, j ⟩

$|q,j\rangle$ (он вырожден, если их больше, чем на

j

$j$ , что является типичной ситуацией).

В проективном измерении $\hat Q$ , вы получаете собственное значение $q$ с вероятностью $P(q)=\text{Tr}[\rho(t)\hat Q]$ . Тогда состояние вашей системы

р_{д} знак равно \frac{{\hat{Π}}_{д} р (т) {\hat{Π}}_{д}}{п (д)} .

$\rho_q=\frac{\hat\Pi_q\rho(t)\hat\Pi_q}{P(q)}.$

Если вы измерили $q_r$ , но ваш измерительный прибор неправильно передает информацию (то, что Норберт Шух назвал в своем комментарии "классическим скремблированием"), то ваше состояние

р_{д_{р}} знак равно \int г д п (д | д_{р}) р_{д} .

$\rho_{q_r} = \int dq \, P(q|q_r)\,\rho_q.$ (или сумма, если ваше распределение вероятностей дискретно.) Как прокомментировал Нойралеф,

P (q | q_{r})

$P(q|q_r)$ должен быть рассчитан из

P (q_{r} | q)

$P(q_r|q)$ дано выше с использованием теоремы Байеса. Ваша первоначальная догадка может быть равномерным распределением для

P (q)

$P(q)$ , хотя это не обязательно означает равномерное распределение для

P (q_{r})

$P(q_r)$ .

Если вы полностью проигнорируете свою запись измерений, состояние вашей системы будет

р_{игнорировать} знак равно \int г д п (д) р_{д} знак равно \int г д {\hat{Π}}_{д} р (т) {\hat{Π}}_{д} .

$\rho_{\text{ignore}} = \int dq\, P(q)\rho_q = \int dq\,\hat\Pi_q\rho(t)\hat\Pi_q.$ Это безусловное состояние . В этом случае (и в первом) все когерентности между различными

q

$q$ пропали подсектора (если написать матрицу плотности в базисе, где разные блоки соответствуют разным

q

$q$ , то все недиагональные блоки равны нулю).

Наконец, вы можете рассмотреть случай слабого измерения. Это тот случай, когда мы действительно должны знать больше об измерении. Предполагая, что все непрерывно, вы можете записать семейство операторов Крауса

{\hat{Υ}}_{д_{р}} знак равно п (д_{р} | \hat{Вопрос}),

$\hat{\Upsilon}_{q_r}=P(q_{\text{r}}|\hat Q),$ где вы только что заменили номер

q

$q$ с оператором

\hat{Q}

$\hat Q$ в вашем выражении выше. В этом случае состояние вашей системы после измерения

р_{д_{р}} знак равно \frac{{\hat{Υ}}_{д_{р}} р (т) {\hat{Υ}}_{д_{р}}^{†}}{Тр [р (т) {\hat{Υ}}_{д_{р}}^{†} Υ_{д_{р}}]} .

$\rho_{q_r} = \frac{\hat\Upsilon_{q_r}\rho(t)\hat\Upsilon_{q_r}^\dagger}{\text{Tr}[\rho(t)\hat\Upsilon_{q_r}^\dagger\Upsilon_{q_r}]}.$ Теперь, когда вы посмотрите на безусловное состояние, интегрируя

q_{r}

$q_r$ , вы обнаружите, что это не блочная диагональ!

Изменить: спасибо Noiralef за указание на опечатки и теорему Байеса.

Я думаю, что здесь есть некоторые ошибки. 1.) Если результат измерения игнорируется, последующее состояние должно быть $\int dq\, P(q) \rho_q$ с $P(q) = tr[\rho(t) \hat \Pi_q]$ . Обратите внимание, что ваше выражение для $\rho_{ignore}$ не имеет единичного следа. 2.) В случае «классического скремблирования» я думаю, что результирующее состояние $\int dq\, P(q|q_r) \rho_q$ а также $P(q|q_r)$ необходимо вычислить по известному $P(q_r|q)$ используя теорему Байеса. 3.) В последнем уравнении не хватает кинжала. Наконец, я думаю, что полный ответ должен каким-то образом также обсуждать взаимодействие между системой и зондом.
Спасибо за указание на опечатки и теорему Байеса. Поскольку ничего не указано, я не думаю, что могу обсуждать взаимодействие. может быть, я или кто-то еще добавит пример в какой-то момент.

Как вычислить состояние квантовой системы после несовершенного измерения?

Даниэль Санк

Даниэль Санк

Дэйвид

Норберт Шух

Даниэль Санк

Норберт Шух

Ответы (1)

Даниэль

Нуаралеф

Даниэль

Как вы придумываете POVM?

Какова важность диагональной матрицы плотности после измерения/декогеренции?

Как можно изолировать частицу, чтобы избежать декогеренции?

В чем разница между общим измерением и проективным измерением?

Как можно описать состояние с матрицей плотности после измерения положения?

Максимально смешанное состояние находится в центре всех квантовых состояний.

Матрицы 2x2, которые не являются действительными квантовыми состояниями

Квантовая запутанность неразличимых частиц

Понимание квантового ластика с точки зрения квантовой информации

Когда состояние вида ρ=∑ipi|ψi⟩⟨ψi|ρ=∑ipi|ψi⟩⟨ψi|\rho=\sum_i p_i\lvert\psi_i\rangle\langle\psi_i\rvert может быть чистым состоянием?