Фактическая астрономическая широта (направление силы тяжести) не совпадает с расчетами с учетом центробежной силы земли.

Question

Фактическая астрономическая широта (направление силы тяжести) не совпадает с расчетами с учетом центробежной силы земли.

Физика
геодезические
геофизика
центробежная сила
ньютоновская гравитация
ньютоновская механика

Кипарис

СОКРАЩЕННЫЙ ВОПРОС/ПРОБЛЕМА:

Направление вектора гравитации Земли не указывает на центр Земли из-за центробежной силы. Теоретически он должен указывать на 0,1 градус. Но это не так.

Разница между геодезической и геоцентрической широтой дает нам фактическую разницу между направлением силы тяжести (геодезическим) и центром земли (геоцентрическим). Преобразование геодезических данных в геоцентрические показывает гораздо большую разницу, чем 0,1 градуса.

Из-за центробежной силы гравитация Земли должна быть направлена от центра Земли примерно на одну десятую градуса.

Разница между направлением силы тяжести и центром земли определяется вертикальным отклонением (астрономической широтой).

Астрономическая широта определяется $DEFLEC99$ для всех точек на земле. $DEFLEC99$ дает астрономическую широту как отличие широты от геодезической широты. Однако разница в основном незначительна ( $1$ к $45$ угловые секунды).

Это означает, что геодезическая и астрономическая широта практически равны.

Таким образом, мы можем вычислить фактическую разницу между астрономической широтой (направлением силы тяжести) и геоцентрической широтой (центром Земли), вычитая геодезическую широту из геоцентрической широты.

В качестве примера возьмем следующее:

Геодезическая/астрономическая широта - $49.26083$

Геоцентрическая широта - $49.07043926$

Разница в широтах - $0.1903937385$

Теперь посмотрим, какая должна быть разница по силе центробежной силы:

Центробежная сила = $(2\pi/86164.091)^2 * (\cos[49.07043926]) * 6365904$ (радиус на этой широте) $= 0.02217660948$

Гравитация = $GM/R^2 - 3(J2)(GMa^2/R^4)(3/2)(\cos^2[49.07043926]-1) = 9.847454494$

Чтобы найти теоретическую астрономическую широту, мы должны были бы определить $x$ и $y$ компоненты векторной суммы центробежной силы и силы тяжести, которая имеет вид:

х компонент = $\cos[49.07043926] * 9.847454494$

компонент у = $\sin[49.07043926] * 9.847454494 - 0.02217660948$ (центробежная сила)

новый угол = $\tan^{-1} (y component / x component) = 49.16806807$

разница между широтой выше и геоцентрической широтой

$= 49.16806807 - 49.07043926 = 0.09762881339$

Сравните этот рисунок с первыми рисунками:

Геодезическая/астрономическая широта - $49.260833$

Геоцентрическая широта - $49.07043926$

Разница в широтах - $0.1903937385$

Расчетная астрономическая широта - $49.2187618253$

Геоцентрическая широта - $49.07043926$

Разница в широтах - $0.09762881339$

Фактическая разница и расчетная разница сильно отличаются $.1$ степень.

Имейте в виду, что это не единичный случай, характерный для этой широты. Неравенство сохраняется на широтах от $20$ к $50$ градусов геодез.

Есть ли компонент гравитации, который я не решаю?

Объяснение различных широт:

Геоцентрический: представьте себе линию, проведенную от точки на поверхности земли к центру земли. Угол между этой линией и линией, параллельной экватору, является геоцентрической широтой.

Геодезический: Представьте себе точку на поверхности земного эллипсоида. Угол между линией, перпендикулярной поверхности в этой точке, и линией, параллельной экватору, является геодезической широтой.

Астрономическая широта: угол между направлением силы тяжести (отвесной линией) и линией, параллельной экватору. Этот угол обычно описывается как отклонение от геодезической широты (значение плюс или минус в диапазоне от $1$ к $44$ угловые секунды).

Поскольку разница между геодезической и астрономической широтой очень мала, я склонен считать их равными для практических целей.

ИСТОЧНИКИ:

https://physics.stackexchange.com/a/141981/311236 - комментарий объясняет сферический компонент J2 и дает для него уравнение

http://download.csr.utexas.edu/pub/slr/degree_2/C20_Long_Term.txt — текстовый файл НАСА с актуальными данными для C20. C20 в настоящее время равно значению в нижней части второго столбца.

https://grace.jpl.nasa.gov/data/get-data/oblateness/ — веб-сайт НАСА объясняет, что J2 = -C20*(sqrt(5))

https://www.oc.nps.edu/oc2902w/coord/coordcvt.pdf — содержит уравнение для преобразования геодезической широты в геоцентрическую. вам не нужно вычислять «Rn» в этом уравнении, если «h» равно 0. «h» — это эллипсоидальная высота. эллипсоидальная высота не является высотой над уровнем моря. точность эллипсоидальной высоты незначительна по отношению к конечному результату, поэтому для практичности лучше оставить 0.

в этом уравнении «е» не относится к числу Эйлера. Вместо этого он равен квадратному корню из (1-(b^2/a^2))

где:

а = 6378137 м

б = 6356752,3 м

https://www.ngs.noaa.gov/cgi-bin/GEOID_STUFF/deflec99_prompt.prl - DEFLEC99. вы можете подставить пример широты и долготы: 49° 15′ 39″ северной широты, 123° 6′ 50″ западной долготы

Клеонис

Меня интересовало происхождение названия «астрономическая широта». Цельций, работая астрономом, проделал стандартную процедуру: сравнил вертикальное положение звезд с поверхностью местного уровня, чтобы получить значение широты Уппсальской обсерватории .

Кипарис

Это точно подходящее имя. Кстати, я добавил несколько полезных источников в конец моего вопроса.

ДЖЭБ

Этот вопрос недостаточно лаконичен. В чем проблема? Я имею в виду, что я откалибровал SRTM (первую глобальную карту человечества в одной системе координат) и NASADEM... и я не могу за этим уследить. Если вы ужесточили его, мы поместим его в ECEF и покончим с этим. Это может быть эллипсоидное или геоидное происхождение, но опять же: пожалуйста, сделайте его более кратким.

Кипарис

Я отредактировал свой пост, чтобы включить более краткое изложение моего вопроса.

Клеонис

Я нашел другой ресурс для преобразования между геодезической и геоцентрической широтой. Этот ресурс определяет коэффициент выравнивания «f», а затем дает преобразование в терминах этого «f». И да, на широте 45 градусов разница между геодезической и геоцентрической широтой составляет около 0,2 градуса. Интересный. Я не ожидал этого. Разница в 2 раза. Это может быть просто совпадение, но я подозреваю, что это не так. В любом случае: оба значения хороши, предположительно есть математическая причина, по которой они не совпадают.

Клеонис

Вот одна из причин, по которой этому вопросу не уделяется должного внимания. Для целей этого вопроса важна только разница между геодезической и геоцентрической широтой. Для целей этого вопроса разница между астрономической широтой и геодезической широтой незначительна. То есть: если убрать все упоминания об астрономической широте, фактический вопрос останется.

Ответы (7)

Фактическая астрономическая широта (направление силы тяжести) не совпадает с расчетами с учетом центробежной силы земли.

Меня интересовало происхождение названия «астрономическая широта». Цельций, работая астрономом, проделал стандартную процедуру: сравнил вертикальное положение звезд с поверхностью местного уровня, чтобы получить значение широты Уппсальской обсерватории .
Это точно подходящее имя. Кстати, я добавил несколько полезных источников в конец моего вопроса.
Этот вопрос недостаточно лаконичен. В чем проблема? Я имею в виду, что я откалибровал SRTM (первую глобальную карту человечества в одной системе координат) и NASADEM... и я не могу за этим уследить. Если вы ужесточили его, мы поместим его в ECEF и покончим с этим. Это может быть эллипсоидное или геоидное происхождение, но опять же: пожалуйста, сделайте его более кратким.
Я отредактировал свой пост, чтобы включить более краткое изложение моего вопроса.
Я нашел другой ресурс для преобразования между геодезической и геоцентрической широтой. Этот ресурс определяет коэффициент выравнивания «f», а затем дает преобразование в терминах этого «f». И да, на широте 45 градусов разница между геодезической и геоцентрической широтой составляет около 0,2 градуса. Интересный. Я не ожидал этого. Разница в 2 раза. Это может быть просто совпадение, но я подозреваю, что это не так. В любом случае: оба значения хороши, предположительно есть математическая причина, по которой они не совпадают.
Вот одна из причин, по которой этому вопросу не уделяется должного внимания. Для целей этого вопроса важна только разница между геодезической и геоцентрической широтой. Для целей этого вопроса разница между астрономической широтой и геодезической широтой незначительна. То есть: если убрать все упоминания об астрономической широте, фактический вопрос останется.

Гэндальф61 · Answer 1

Гэндальф61

Вы сравниваете два угла с точностью до второго десятичного знака. Чтобы достичь степени точности, необходимой для этого сравнения, ваши входные данные должны быть точными с точностью до одной десятитысячной.

При расчете центробежной силы вы предполагаете, что звездные сутки длятся ровно 24 часа. Это неточно примерно на 4 минуты, или на одну часть из 360.

Кипарис

Я снова провел расчет, используя время для точного звездного дня. Разница составляет 0,0008 градуса: от 0,1483225653 до 0,149137695. Надеюсь, вы не ожидали большой разницы. Дело в том, что изменения в гравитации заключаются в том, что задействованные силы и массы настолько велики, что даже малейшие изменения трудно обнаружить, поэтому рассматриваемое несоответствие столь значительно.

Гэндальф61

@Cypress Прежде чем вы сможете сделать какие-либо выводы, вам нужно убедиться, что все остальные ваши входные данные также имеют требуемую точность. Откуда берется значение радиуса при расчете центробежной силы? Приняли ли вы во внимание фактическую форму Земли, которая не является сферой (как в ответе Ben51 ниже)? Приведены ли значения DEFLEC99 для конкретного местоположения или они усреднены по линии широты?

Кипарис

Значение радиуса взято с этого удобного веб-сайта: planetcalc.com/7721 . Он обеспечивает радиус земли на данной широте с точностью до 0,01 секунды. Переменный радиус уже предполагает, что Земля не является идеальной сферой. Значения DEFLEC99 зависят от широты и долготы.

Бен51 · Answer 2

Часть несоответствия, вероятно, связана с тем, что вектор чистой гравитации (без учета центробежной силы) не указывает прямо на центр Земли. Вы можете думать о Земле как о сфере, приблизительно сферически симметричной, которая производит гравитационную составляющую прямо к своему центру, плюс «рубашка», которая наиболее толстая на экваторе и утончается до нуля на полюсах. Гравитационная составляющая из-за оболочки, как правило, не направлена прямо к центру Земли.

В моем уравнении для гравитации я рассчитываю неравномерное распределение массы, используя фактор J2. Учитывая широту и радиус на этой широте, сила J2 составляет 0,01142331441. Вопрос в том, в каком направлении указывает вектор силы J2? Знание этого было бы полезно.

Клеонис · Answer 3

Я согласен с ответом Ben51.

Центр гравитационного притяжения Земли не расположен в геометрическом центре Земли.

Один из способов увидеть это качественно — мысленный эксперимент с центром гравитационного притяжения диска, измеренным вне диска, но в плоскости диска. Поскольку сила тяжести падает обратно пропорционально квадрату расстояния, центр гравитационного притяжения не будет находиться в геометрическом центре диска.

В случае экваториальной выпуклости Земли: Для объекта, расположенного на экваторе: где находится центр гравитационного притяжения?

Следующее рассуждение дает способ оценить положение центра гравитационного притяжения Земли:
Демонстрация мысли: объект, расположенный на экваторе, имеет более высокий геопотенциал, чем на полюсах.

Если бы у вас был небесный объект с тем же размером, формой и гравитацией, что и у Земли, но с невращающейся поверхностью и без трения, то объект, выпущенный из точки с наивысшим геопотенциалом, будет накапливать кинетическую энергию по мере того, как он скользит к точке с наименьшим геопотенциалом.

Динамическое равновесие экваториальной выпуклости Земли аналогично динамическому равновесию зеркала Меркурия .

Динамика зеркала Меркурия подчиняется закону Гука.

В случае закона Гука: для кругового движения вокруг центра притяжения отношение кинетической энергии и потенциальной энергии составляет 1: 1 (теорема вириала, применяемая для случая закона Гука)

Кинетическая энергия совместного вращения с Землей вдоль экватора соответствует разнице геопотенциалов примерно в 10 километров. (с учетом ошибки 10% или около того)

Радиус Земли от геометрического центра до полюсов примерно на 20 километров меньше радиуса от центра до экватора.

(И, конечно же, для объекта, не расположенного ни в какой точке не на экваторе, центр гравитационного притяжения не находится в экваториальной плоскости Земли.)

Думаю, вас может заинтересовать мой ответ Ben51. Коэффициент J2/C20 учитывает распределение массы. Я хотел бы знать ваши мысли о направлении его силы.

ДЖЭБ · Answer 4

Есть небольшие проблемы с расчетом теоретической гравитации. Термин теоретическая сила тяжести относится к силе тяжести вращающегося сплюснутого сфероида (эллипсоида) в отсутствие приливных эффектов. Эта гравитация всегда нормальна к поверхности эллипсоида, поэтому ее угол определяется геодезической широтой.

Конечно, Земля не является однородным эллипсоидом, и существует множество моделей и наборов данных, учитывающих последующие отклонения. Шаг первый — выбрать эллипсоид, так как их несколько. Некоторые из них являются глобальными, некоторые лучше всего подходят для определенных континентов. Самый распространенный глобальный — WGS84.

Из-за изменений в строении Земли эквипотенциальная поверхность отклоняется от поверхности эллипсоида. Отклонения называются волнами геоида и фиксируются с помощью вещи под названием «Геоид», которых существует множество. EGM96 популярен, но был заменен EGM2008. Это сферическое полиномиальное расширение теоретического среднего уровня моря до порядка 2500. Конечно, гравитация — это вектор, поэтому она отклоняется от геодезической широты, и различные модели/наборы данных фиксируют эти двухпараметрические отклонения (например, DEFLECT99).

Но мы имеем дело с теоретической гравитацией, поэтому в этих моделях нет необходимости. Сила тяжести на поверхности неравномерна. Он меняется в зависимости от широты как:

г (ф) "=" г_{е} [\frac{1 + к {грех}^{2} ф}{\sqrt{1 - ϵ^{2} {грех}^{2} ф}}]

$g(\phi)= g_e\Big[\frac{1+k\sin^2{\phi}}{\sqrt{1-\epsilon^2\sin^2{\phi}}}\Big]$

где $a,b,\epsilon$ параметры эллипсоида и:

к "=" \frac{б г_{п} - а г_{е}}{а г_{е}}

$k=\frac{bg_p-ag_e}{ag_e}$

где $g_e=9.8321849378\,$ м/2 и $g_p=9.78\,$ м/с — ускорение свободного падения на экваторе и полюсе соответственно. Также: $\sin{\phi}$ относится к синусу широты в радианах, поскольку широта и долгота формально являются геодезическими координатами в градусах, а не в углах, но... вы знаете, они также являются углами.

На любой широте на поверхности есть два радиуса кривизны (меридиональный и нормальный):

М (ф) "=" \frac{(а б)^{2}}{[(а потому что ф)^{2} + (б грех ф^{2})^{2}]^{\frac{3}{2}}}

$M(\phi)=\frac{(ab)^2}{[(a\cos{\phi})^2+(b\sin{\phi}^2)^2]^{\frac 3 2}}$

Н (ф) "=" \frac{а^{2}}{[(а потому что ф)^{2} + (б грех ф^{2})^{2}]^{\frac{1}{2}}}

$N(\phi)=\frac{a^2}{[(a\cos{\phi})^2+(b\sin{\phi}^2)^2]^{\frac 1 2}}$

но это не радиус оси вращения. Для этого преобразуйте в фиксированные координаты Земли по центру Земли (ECEF):

Икс "=" потому что ф потому что λ (Н (ф) + час)

$x=\cos{\phi}\cos{\lambda}(N(\phi)+h)$

у "=" потому что ф грех λ (Н (ф) + час)

$y=\cos{\phi}\sin{\lambda}(N(\phi)+h)$

г "=" грех ф ([1 - ϵ^{2}] Н (ф) + час)

$z=\sin{\phi}([1-\epsilon^2]N(\phi)+h)$

где $h$ - высота над эллипсоидом, поэтому:

р "=" \sqrt{{Икс}^{2} + у^{2} + г^{2}} "=" Н (ф) \sqrt{{потому что}^{2} ф + (1 - ϵ^{2})^{2} грех ф}

$\rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2}=N(\phi)\sqrt{\cos^2\phi+(1-\epsilon^2)^2\sin\phi}$

Конечно, долгота $\lambda$ выпадает.

Я выполнил ваше уравнение для гравитации и получил 9,8022 м/с2. Однако на конечный результат это почти не влияет, около 0,0004 градуса. Я могу отредактировать свой пост, чтобы показать разницу, если хотите. Однако я думаю, что Клеонис прав. Более эффективным подходом может быть изучение преобразования геодезической широты в геоцентрическую. Эта статья включает уравнение, которое я использовал, дайте мне знать, что вы о нем думаете: oc.nps.edu/oc2902w/coord/coordcvt.pdf
точки геодезической широты вдоль $\vec g$ по определению, поэтому вычитание центробежной должно сразу дать вам решение ньютоновской гравитации стационарного эллипсоида.

Томас · Answer 5

Дело в том, что Земля не сфера, а (в первом приближении) эллипсоид, так что даже без всякого вращения местная вертикаль не проходила бы через центр Земли (разве что на полюсе или экваторе). Вам придется добавить эту статическую «аберрацию» из-за эллипсоидной формы к центробежной «аберрации».

Это просто показать следующим образом:

гравитационный потенциал из-за однородного статического эллипсоида равен

Φ (р, θ) "=" - \frac{г М}{р} + \frac{2 ф г М {\bar{р}}^{2}}{5 р^{3}} п_{2} (потому что (θ)) + О (ф^{2})

$\Phi(r,\theta)=-\frac{GM}{r}+\frac{2 f GM \overline R^2}{5 r^3}P_2(\cos(\theta)) +O(f^2)$

где $r$ - радиальное расстояние, $\theta$ полярный угол (90° широты) точки наблюдения, $\overline R$ средний радиус эллипсоида и его эллиптичность (уплощение). $P_2(\cos(\theta))$ полином Лежандра

п_{2} (потому что (θ)) "=" \frac{1}{2} (3 {потому что}^{2} (θ) - 1)

$P_2(\cos(\theta))=\frac{1}{2}(3 \cos^2(\theta)-1)$

Отсюда мы можем получить вектор ускорения, взяв градиент

\vec{г} (р, θ) "=" (г_{р} (р, θ), г_{θ} (р, θ)) "=" - \vec{\nabla} Φ (р, θ) "=" (- \frac{\partial Φ (р, θ)}{\partial р}, - \frac{1}{р} \frac{\partial Φ (р, θ)}{\partial θ})

$\vec g(r,\theta)=(g_r(r,\theta),g_{\theta}(r,\theta))=-\vec \nabla\Phi(r,\theta)=(-\frac{\partial\Phi(r,\theta)}{\partial r}, -\frac{1}{r}\frac{\partial\Phi(r,\theta)}{\partial \theta})$ игнорируя азимутальную координату здесь из-за вращательной симметрии. Оценка этого дает

г_{р} (р, θ) "=" - \frac{г М}{р^{2}} \cdot [1 + \frac{3}{5} ф \frac{{\bar{р}}^{2}}{р^{2}} \cdot (3 {потому что}^{2} (θ) - 1)]

$g_r(r,\theta)=-\frac{GM}{r^2}\cdot [1+\frac{3}{5}f\frac{\overline R^2}{r^2}\cdot(3 \cos^2(\theta)-1)]$

г_{θ} (р, θ) "=" \frac{г М}{р^{2}} \frac{3}{5} \frac{ф {\bar{р}}^{2}}{р^{2}} \cdot грех (2 θ)

$g_\theta(r,\theta)=\frac{GM}{r^2}\frac{3}{5}\frac{f \overline R^2}{r^2}\cdot \sin(2\theta)$

С $g_\theta(r,\theta)\neq 0$ , вектор ускорения вообще не проходит через центр эллипсоида, но имеет компонент, указывающий на экватор. Взяв эллиптичность $f=1/298$ для земли получается максимальное отклонение от радиального (геоцентрического) направления у поверхности ( $r=\overline R$ )

α_{г} "=" арктический (\frac{г_{θ} (р, 45 град)}{г_{р} (р, 45 град)}) \approx 0,11 град

$\alpha_g = \arctan(\frac{g_\theta(R, 45 \deg)}{g_r(R, 45 \deg)})\approx 0.11 \deg$

Это нерадиальное ускорение, вызванное формой эллипсоида, как и ожидалось, направлено к экватору (еще раз обратите внимание, что $\theta$ это ко-широта (90-широта) здесь).

Если мы предположим, что этот эллипсоид является абсолютно жестким и добавим к нему вращение, будет добавлена дополнительная центробежная сила, что приведет к чистому ускорению

γ_{р} "=" г_{р} + ю^{2} р_{Икс} грех (θ)

$\gamma_r=g_r+\omega^2r_x\sin(\theta)$

γ_{θ} "=" г_{θ} + ю^{2} р_{Икс} потому что (θ)

$\gamma_\theta=g_\theta+\omega^2r_x\cos(\theta)$

где

р_{Икс} "=" р грех (θ) "=" \frac{а грех (θ)}{\sqrt{{грех}^{2} (θ) + \frac{{потому что}^{2} (θ)}{1 - ф}}}

$r_x:=r\sin(\theta) = \frac{a\sin(\theta)}{\sqrt{\sin^2(\theta)+\frac{\cos^2(\theta)}{1-f}}}$

- проекция положения на экваториальную плоскость (с $a$ экваториальный радиус и $f$ эллиптичность (уплощение)). $\omega$ - частота вращения Земли, а $\theta$ соширота.

Отклонение этого вектора результирующего ускорения от направления на центр Земли равно

α_{γ} "=" арктический (\frac{γ_{θ}}{γ_{р}})

$\alpha_\gamma = \arctan(\frac{\gamma_\theta}{\gamma_r})$

Оценивая это для $\theta=45 deg$ дает значение $\alpha_\gamma\approx0.21 \deg$ . Это «аберрация» отвесной линии от направления к центру Земли для точки на опорном эллипсоиде, включая центробежную силу. В принципе эта аберрация должна быть такой же, как и у местной вертикали на поверхности эллипсоида. Последнее можно рассчитать, взяв градиент уравнения эллипсоида

С "=" \frac{р^{2} {грех}^{2} (θ)}{а^{2}} + \frac{р^{2} {потому что}^{2} (θ)}{б^{2}}

$S=\frac{r^2\sin^2(\theta)}{a^2} +\frac{r^2\cos^2(\theta)}{b^2}$

то есть

\nabla_{р} С "=" \frac{2 р}{а^{2}} [{грех}^{2} (θ) + \frac{{потому что}^{2} (θ)}{(1 - ф)^{2}}]

$\nabla_r S = \frac{2r}{a^2} [\sin^2(\theta)+\frac{\cos^2(\theta)}{(1-f)^2}]$

\nabla_{θ} С "=" \frac{р}{а^{2}} грех (2 θ) [\frac{1}{(1 - ф)^{2}} - 1]

$\nabla_\theta S = \frac{r}{a^2}\sin(2\theta) [\frac{1}{(1-f)^2} -1]$

откуда получаем отклонение нормали к эллипсоиду как

α_{С} "=" арктический (\frac{\nabla_{θ} С}{\nabla_{р} С})

$\alpha_S = \arctan(\frac{\nabla_\theta S}{\nabla_r S})$

что для $\theta =45 \deg$ и $f=1/298$ оценивает $\alpha_S=0.19 \deg$ Это отличается примерно $0.02 \deg$ от направления силы тяжести. Причина этого в том, что Земля не является идеальной жидкостью, но имеет некоторую жесткость. Для идеальной жидкости уплощение было бы больше, а для $f\approx 1/233$ несоответствие действительно исчезает (см. также эту ссылку по этому поводу).

Да, кажется, что-то аддитивное происходит. Я визуализирую поперечное сечение сферы в процессе сглаживания до эталонного эллипсоида. В сферическом состоянии есть единственная точка 45 градусов; мы можем водрузить туда флаг, как будто в почву сажая. Затем начинаем выравнивать. Сглаживание перераспределяет объем, и это заставляет флаг немного двигаться наружу. То же самое сплющивание также изменяет угол наклона. Моя догадка: при небольших значениях выравнивания два вклада примерно равны по величине.
Отвечая Томасу: я не уверен, правильно ли я вас понимаю, но «статической аберрации» нет. Статическая Земля не была бы эллипсоидальной, она, вероятно, была бы сферической, потому что форма эллипсоида является результатом вращения.
Отвечая Клеонису: Было бы полезно изучить объемное распределение. В моем исходном уравнении гравитации вы можете увидеть фактор J2/C20, который объясняет большую массу в экваториальной выпуклости. Я включил полезное объяснение J2 в нижней части моего поста в цитируемых источниках. Я считаю, что J2 имеет значительную величину. Однако его направление равно чистой гравитации.
@Cypress То, что я хотел передать с помощью «перераспределения объема», заключается в следующем: представьте цилиндрически симметричный холм, и вы устанавливаете флаг на определенном расстоянии от центра этого холма, примерно на полпути вверх по склону. А теперь представьте, что холм не является геологически стабильным, и есть ползучесть. Весь склон холма немного опускается, как густая патока. Это будет иметь два эффекта: флагшток, вкопанный в почву, двигаясь вместе с почвой, немного отдалится от центра холма. Кроме того, наклон склона немного уменьшится. Эти два эффекта суммируются.
@Cypress На самом деле не имеет значения, как возникает форма земли. Просто предположим, что это в первую очередь эллипсоид и что он настолько жесткий, что вращение не искажает его дальше. В этом случае у вас будет статическая «аберрация» локальной вертикали + аберрация от центробежной силы.
@Cleonis Ваша аналогия может сработать, но я бы предпочел, чтобы она выражалась с точки зрения силы, если это имеет смысл. Флаг в вашей аналогии — это направление гравитации и сама гравитация, а не физический объект с массой, поэтому мне не ясно, как именно падение изменит свое направление в пустоте космоса.
@Thomas Для статического эллипсоида без центробежной силы направление силы тяжести будет направлено к его центру, если предположить, что центр также является центром масс. Вы предполагаете, что центр масс эллипсоида не является его центром?
@Cypress Интересующая вас астрономическая / геодезическая широта определяется местной вертикалью, а не направлением силы тяжести.
@Cypress Gravity указывает только на центр масс сферы. Рассмотрим объект в форме гантели. Если вы находитесь рядом с одной из его основных масс вне главной оси, гравитация определенно не будет указывать на центр масс. А эллипсоид можно примерно представить как сферу с экваториальной выпуклостью. Сфера будет притягивать к центру что угодно, но экваториальную выпуклость, конечно, нет, если только вы не находитесь на полюсе или экваторе.
@Thomas Астрономическая широта определяется направлением силы тяжести. Разница между геодезической и астрономической широтой в стоимостном выражении практически незначительна. Если предположить, что Земля симметрична, то центром тяжести эллипсоида будет его центр. Доказательством этого является то, что гравитационные расчеты определяют гравитацию с точки зрения расстояния до центра земли. Если бы это было не так, значения гравитации были бы непоследовательными из-за изменения радиуса. И GM/R^2, и коэффициент J2/C20, определенный НАСА, предполагают радиус как расстояние от центра Земли.
@Cypress Как уже упоминалось, вектор гравитационного ускорения обычно не указывает на центр масс. Последнее является всего лишь первым моментом функции распределения плотности и не зависит от местоположения наблюдателя. Таким образом, симметричное тело, очевидно, будет иметь центр масс в своем центре. Но вектор ускорения включает положение наблюдателя и $1/r^2$ весовой коэффициент, что приводит к асимметрии. Таким образом, на статическом эллипсоиде гравитация не направлена ни вертикально к поверхности, ни направлена к центру. Смотрите также мой существенно переписанный ответ.
Подход в вашем ответе великолепен, но похоже, что вы допустили ошибку в своем уравнении для a[r](r, theta), значения, которое будет координатой x в декартовой системе координат. Ко второму компоненту уравнения умножается дополнительное значение 3. Похоже, вы взяли значение из 3cos^2(тета) и умножили на дробь 2/5. Это создает ошибочное значение 3/5. Это довольно существенный фактор. Меня интересует редактирование вашего вопроса с более подробным пошаговым выводом ваших уравнений для [r] (r, тета) и [тета] (r, тета).
Этот комментарий содержит уравнение для направления силы тяжести на поверхности статического сплюснутого сфероида: astronomy.stackexchange.com/a/34748. Значения, приведенные здесь: scienceworld.wolfram.com/physics/MomentofInertiaEarth.html , должны быть моментами инерции для полярной и экваториальной осей. Затем уравнение можно решить для g (тета), используя эти значения. Результат, который я получил, был незначительным и сильно отличался от вашего результата, если предположить, что мое значение константы «k» верное.
@Cypress Фактор 3 во втором члене для $a_r$ верно, оно происходит от производной от $1/r^3$ в потенциале. Во всяком случае, этот член пренебрежимо мал для расчета угла. И потенциал, и ускорение в другом ответе, который вы процитировали, идентичны моим уравнениям для $k=2\epsilon M R ^2/5$
Используя то же значение k для решения (3kG/r^4)*sin*cos на широте 49,07, я получил 0,0196 градуса. Я куда-то пропал? Вы упомянули, что значение 0,11 было для r = R. Не уверен, на какой широте r=R, но r для этой широты отличается примерно на 5 км.
@Кипарис. Должно быть, ты где-то ошибаешься. С $k$ как указано выше, у вас есть $a_\theta /a_r$ =6 $\epsilon$ грех( $\theta$ ) потому что( $\theta$ )/5. С $\epsilon=1/298$ и $\theta=49$ град это оценивается как 0,002. Взяв арктангенс от этого, мы получим 0,11 град.
aθ(r,θ)=(3/5)(GM/r^2)(eR^2/r^2)(sin(2θ)) разделить на ar(r,θ)=(GM/r^2) [1+(3/5)(GM/r^2)(eR^2/r^2(3cos(θ)-1)] дает (3/5)(ϵR^2/r^2)sin(2θ )+sin(2θ)/(3cos2(θ)−1), а не aθ/ar =6 ϵ sin(θ) cos(θ)/5. Не говорю, что вы ошибаетесь в этом вопросе, просто не знаете, как ты попал туда.
Кроме того, значение 0,11 градуса отличается от 0,02 градуса при добавлении центробежной силы. Я проверил это для разных широт, используя aθ/ar=6 ϵ sin(θ) cos(θ)/5 для статического угла, и получил ту же ошибку 0,02. Вы также можете увидеть ошибку в моем исходном сообщении только для угла с центробежной силой: 0,10 + 0,11 = 0,21 расчетное отклонение составляет 0,19 градуса. Значимость этой ошибки зависит от того, насколько точными должны быть уравнения. Диапазон значений DEFLEC99 составляет от -44 до +44 угловых секунд, меньше 0,02.
@Cypress Да, я тоже получаю ошибку 0,02 градуса: направление силы тяжести (включая центробежную силу) не совпадает с центром на 0,21 градуса. но местная вертикаль на поверхности только на 0,19 градуса (см. мой отредактированный ответ). По-видимому, это связано с тем, что Земля не является идеальной жидкостью. Если вы возьмете f = 1/233 для эллипсоида, разница исчезнет. Это не очень важно, так как все в любом случае относится к направлению силы тяжести. В любом случае, DEFLECT99 не имеет к этому никакого отношения. Данные там как раз дают отклонение направления силы тяжести из-за локальных отклонений от эллипсоида.

Клеонис · Answer 6

Это второй ответ; этот ответ имеет другую направленность.

Для преобразования между геодезической широтой и геоцентрической широтой мы имеем , что на 45 градусах широты разница между геодезической и геоцентрической составляет около 0,2 градуса, тогда как гипотетический отвес висит под углом 0,1 градуса.

Мы смотрим на разницу между углом 0,1 градуса и углом 0,2 градуса, это две значащие цифры . Поэтому в любом исследовательском расчете достаточно использовать три значащие цифры.

Гравитация на полюсах около 9,82. $m/s^2$ , а эффективная сила тяжести на экваторе составляет около 9,78 $m/s^2$ . Разница меньше в третьей цифре; можно просто использовать 9.80 $m/s^2$

Какое центростремительное ускорение требуется на 45 градусах широты, чтобы продолжать вращаться вместе с Землей?

Поскольку инертная масса и гравитационная масса эквивалентны, нет необходимости включать массовый член в математическое выражение.

Требуемое центростремительное ускорение:

а_{с} "=" ю^{2} р (1)

$a_c = \omega^2 r \qquad (1)$

Значимые цифры квадрата угловой скорости Земли: 5,31.

Значимые цифры радиуса Земли на 45 градусе широты: 4,50.

Требуемое центростремительное ускорение на широте 45 градусов: 0,0239 $m/s^2$

Для сравнения: на экваторе необходимое центростремительное ускорение, чтобы оставаться в одном направлении с Землей, составляет 0,0339. $m/s^2$ При условии, что это требуемое центростремительное ускорение идет за счет ускорения свободного падения по закону обратных квадратов, в результате чего эффективное ускорение свободного падения составляет около 9,78. $m/s^2$ .

На широте 45 градусов нам нужно разложить искомое центростремительное ускорение на составляющую, параллельную локальной поверхности, и составляющую, перпендикулярную локальной поверхности.

Здесь важна только составляющая, параллельная локальной поверхности; составляющая, перпендикулярная к локальной поверхности, влияет на период качающегося маятника, но не на угол отвеса.

На широте 45 градусов требуемое центростремительное ускорение в направлении, параллельном местной поверхности:
0,707 * 0,0239 = 0,0169. $m/s^2$

Соответствующий угол:
arcsin(0,0169/9,80) $\approx$ 0,1 градуса

На всех остальных широтах значение будет меньше 0,1.
Ближе к экватору составляющая, параллельная местной поверхности, меньше. Ближе к полюсам расстояние до центра вращения меньше.

В вопросе для расчета силы тяжести использовалась формула с членом J2. Это перебор. Для рассматриваемого вопроса достаточно просто посмотреть значение.

У нас есть это при преобразовании между геодезической и геоцентрической широтой: при 45 градусах разница составляет около 0,2 градуса. Итак, мы имеем, что это значение не совпадает со значением соответствующего угла отвеса, которое составляет около 0,1 градуса.

В предварительном расчете выше основное внимание уделялось углу гипотетической отвесной линии. Исследовательский расчет предназначен для движения относительно сферы , но фактическая широта Земли требует использования опорного эллипсоида .

Я думаю, что разница между сферой и эталонным эллипсоидом заключается в том, где следует искать объяснение несовпадения значений.

В любом случае, учитывая, что инерционная масса и гравитационная масса эквивалентны, гипотетический угол отвеса не может быть измерен. Измерению доступно только локальное эффективное гравитационное ускорение. Гипотетический угол отвеса не подлежит какой-либо калибровке ни в астрономии, ни в геофизике, так что это не проблема.

Основные пометки

Начните с просмотра того, сколько значащих цифр вам нужно. Если конечное значение должно быть точным до трех значащих цифр, то любой исследовательский расчет должен содержать только четыре значащих цифры.

В его нынешнем виде вопрос имеет много чисел с 10 или около того цифрами после запятой. Это делает вопрос очень многолюдным .

Я думаю, что мне просто было сложно представить компоненты моего вопроса менее громоздким и более удобоваримым способом. Частично включение аспектов и цифр «излишних» было сделано для того, чтобы подчеркнуть тщательность. Когда вы представляете такое несоответствие, люди быстро предполагают, что вы где-то ослабли. Здесь нужно найти правильный баланс простоты и точности.
Что касается результатов: как я упоминал в другом месте, изменения в направлении силы тяжести трудно обнаружить из-за величины задействованных чисел (миллионы метров, масса земли). Подумайте об этом так: если сумма осевого радиуса и квадрата скорости Земли изменяется на 0,1 градуса, что потребуется, чтобы измениться еще на 0,1 градуса? Я думаю, что это больше, чем референсный эллипсоид, потому что модель эллипсоида была разработана для объяснения текущих измерений гравитации, поэтому любые изменения в модели должны давать аналогичные результаты. Что-то очень не так.
@Cypress О двух значениях: 0,2 градуса и 0,1 градуса. Я уверен, что оба хороши. Я повторяю то, что я написал в этом ответе: «Гипотетический угол отвеса не подвергается какой-либо калибровке ни в астрономии, ни в геофизике, так что это никогда не проблема». Вы беспокоитесь, что что-то не так. Я говорю: этого никогда раньше не замечали, потому что не существует никакой формы калибровки, которая бы использовала это. Он лежит на стыке ГИС и физики, куда до него не ступала нога человека.
@Cypress Мое текущее мышление таково. Один из способов исследовать это — пройти через диапазон скоростей вращения, от нулевой скорости вращения до, скажем, удвоения скорости вращения Земли. Каждая скорость вращения будет иметь соответствующее сглаживание. ( уплощение вращающихся тел ) Каждой степени уплощения соответствует отклонение между геодезическими и геоцентрическими координатами. Затем можно нанести оба графика: геодезический и геоцентрический как функцию скорости вращения и центробежный эффект как функцию скорости вращения.
Точное определение отклонения по всем широтам было бы полезным подходом, хотя это все еще не устраняет несоответствие. Я думаю, что проблема заключается в текущих измерениях гравитации и предполагаемых параметрах Земли. Обе эти величины в совокупности сильно ограничивают возможности значительного изменения направления силы тяжести. В моем ответе Томасу я упомянул, как гравитационные уравнения определяют радиус как расстояние до центра земли, а это означает, что неравномерное распределение объема нельзя использовать для объяснения отклонения отвесной линии.

Клеонис · Answer 7

Это третий ответ, фокус которого отличается от предыдущих двух.

Общая формула для выражения отношения между геоцентрической широтой и геодезической широтой выглядит следующим образом:
$Lat_c$ => геоцентрическая широта
$Lat_d$ => геодезическая широта
f => сплющивание Земли

загар (л а т_{с}) "=" (1 - ф)^{2} загар (л а т_{г}) (1)

$\tan(Lat_c) = (1 - f)^2 \tan(Lat_d) \qquad (1)$

В этом случае нам не нужно много значащих цифр; двух достаточно. Для целей этого конкретного сравнения мы можем упростить отношение до следующего выражения:

л а т_{с} \approx (1 - ф)^{2} л а т_{г} (2)

$Lat_c \approx (1 - f)^2 Lat_d \qquad (2)$

Теперь мы подробнее рассмотрим $(1 - f)^2$ фактор

(1 - ф)^{2} "=" 1 - 2 ф + ф^{2} (3)

$(1 - f)^2 = 1 - 2f + f^2 \qquad (3)$

Поскольку сглаживание f очень мало, квадратом f можно пренебречь. (для сравнения: 0,99*0,99=0,9801)

Итак, достаточно следующего:

л а т_{с} \approx (1 - 2 ф) л а т_{г} (4)

$Lat_c \approx (1 - 2f) \ Lat_d \qquad (4)$

Решающим для ответа на вопрос является множитель «2», который находится в (4).

Сплющивание Земли

Следующие два пропорциональны квадрату скорости вращения Земли:

A. Величина уплощения Земли

B. Угол между местной линией отвеса и направлением местной гравитации по закону обратных квадратов.

Эти два параметра пропорциональны квадрату скорости вращения Земли, потому что в обоих случаях основной механизм идентичен: обеспечение необходимого центростремительного ускорения.

Мы видим, что именно в процессе взаимопреобразования между геоцентрической и геодезической широтой вводится коэффициент «2». Этот множитель 2 входит в виде квадрата в (1)

Сглаживание «f» очень мало, поэтому эффект возведения в квадрат заключается в том, что он действует как введение множителя «2».

Фактическая астрономическая широта (направление силы тяжести) не совпадает с расчетами с учетом центробежной силы земли.

Кипарис

Клеонис

Кипарис

ДЖЭБ

Кипарис

Клеонис

Клеонис

Ответы (7)

Гэндальф61

Кипарис

Гэндальф61

Кипарис

Бен51

Кипарис

Клеонис

Кипарис

ДЖЭБ

Кипарис

ДЖЭБ

Томас

Клеонис

Кипарис

Кипарис

Клеонис

Томас

Кипарис

Кипарис

Томас

Томас

Кипарис

Томас

Кипарис

Кипарис

Томас

Кипарис

Томас

Кипарис

Кипарис

Томас

Клеонис

Кипарис

Кипарис

Клеонис

Клеонис

Кипарис

Клеонис