Интуиция ≠≠\neq Диаграмма: Вес на Северном полюсе против экватора

Проблема, с которой вы столкнулись, заключается в том, что вы думаете о «центростремительной силе» как о силе, которую вы должны учитывать при рисовании своих диаграмм. Не совсем ты виноват. Фраза так и читается.

Основное правило: нет такой вещи, как " центростремительная сила". Вместо этого эта фаза является меткой для некоторой комбинации реальной силы, которая берет на себя роль вызывающего внутреннее ускорение, которое должно присутствовать для возникновения криволинейного движения. Какое сочетание сил меняется от проблемы к проблеме и даже время от времени в одной ситуации. Что это за комбинация , вам предстоит обнаружить в каждой задаче.

Но у вас есть одна подсказка. Простая кинематика движения говорит вам, какой должна быть величина ускорения.

В этом случае$F_c = |\text{gravity times mass}| - |\text{normal reaction force}|$. Это частный случай общего правила, согласно которому центростремительная сила представляет собой сумму направленных внутрь сил (или составляющих сил) за вычетом суммы направленных наружу сил. ¹

Во-вторых, вам нужно знать, что весы для ванной комнаты измеряют нормальную силу между человеком и землей. Это дает нам другое понимание «веса», чем$mg$(и это правильно работает, когда мы говорим, что астронавт на орбите «невесомый»).

Так,

Чтобы немного раскрыть «почему» этого подхода, я хочу начать с обсуждения равновесия.

Как только вы определили, что какой-то объект находится в равновесии, вы знаете кое-что о силах, действующих на него в совокупности: их сумма равна нулю. Это не говорит вам ни о каком отдельном a priori , но если вы знаете все остальные силы (или знаете, что существует только одна сила), то это позволяет вам закончить.

«Центростремительная сила» очень похожа на это: поскольку объект находится в криволинейном движении, вы знаете, что он не находится в равновесии, а ускоряется, и, кроме того, вы знаете, что составляющая его ускорения, которая указывает на (мгновенный) центр кривизны, равна$a_c v^2/r = r\omega^2$.

А это говорит вам о том, что сумма всех радиальных сил, действующих на него, должна быть$ma_c$(и опять же, это то, что вы знаете о наборе сил). Но прежде чем вы сможете использовать это знание в своих интересах, вы должны определить, какие силы (или их компоненты) должны быть объединены, прежде чем они будут установлены в эту сумму.

Таким образом, первым шагом в решении рабочих задач, связанных с «центростремительной силой», является вопрос : «Какая из этих сил направлена ​​к центру, а какая — наружу?» Первые входят в сумму с положительным знаком, а вторые — с отрицательным.

¹ Вы должны заметить это, потому что это единственные силы, действующие на человека на экваторе, и они не уравновешиваются, потому что этот человек не находится в равновесии. Но вы это знали: они движутся по кругу, верно?

² За исключением того, что мы забыли учесть несферическое распределение массы Земли. Но это уже другая история.

На Северном полюсе вы не движетесь по кругу, поэтому вы не ускоряетесь. Чистая сила на вас равна нулю:$W-N=0$где$W$это гравитационное притяжение на вас и$N$это нормальная реакция грунта. (На самом деле вы путешествуете вместе с Землей по ее орбите вокруг Солнца, поэтому вы ускоряетесь по направлению к Солнцу. Но мы проигнорируем это ускорение, которое примерно$0.006 m/s^2$- относительно маленький.)

На экваторе вы вращаетесь вокруг центра Земли, поэтому вы ускоряетесь. (Речь идет о$0.03 m/s^2$.) Суммарная сила, действующая на вас, отлична от нуля и называется центростремительной силой. $C$. Это не сила сама по себе, это просто название, данное величине силы, необходимой для удержания объекта в движении с заданной скоростью.$v$по окружности заданного радиуса$r$где$C=mv^2/r$. Итак, у нас есть$W-N=C$.

На Северном полюсе,$N=W$, где$W$это вес.

Вот тут ты ошибся с самого начала. Вес и нормальная сила являются векторами, а не скалярами. Для объекта, покоящегося относительно вращающейся Земли на Северном полюсе,$\vec N + \vec W = 0, or$\vec N = -\vec W$, с точки зрения инерциальной системы отсчета, центрированной вокруг Земли, или с точки зрения фиксированной системы отсчета, ориентированной на Землю.

На экваторе инерциальная система отсчета с центром на Земле говорит, что$\vec N + \vec W = \vec F_{\text{net}} = - m r\Omega^2 \, \hat r$, где$\hat r$- единичный вектор, направленный от центра Земли к месту взвешивания объекта. Система отсчета с центром на Земле и фиксированной Землей говорит, что результирующая сила равна нулю, если учесть центробежную силу:$\vec N + \vec W + \vec C = 0$, где$\vec C = m r \Omega^2 \,\hat r$.

Заметим, что в обоих случаях мы получаем$\vec N + \vec W = - m r\Omega^2 \, \hat r$. Две точки зрения согласуются друг с другом.

Другой способ взглянуть на это, диаграмма силы на экваторе:

   Inertial perspective               Rotating perspective
   ------> N                          ------> N
   <--------- W                       <--------- W
                                      -->        C
   <--        Non-zero vector sum     .          Vector sum is zero

Для тела, покоящегося относительно вращающейся Земли, неинерционная центробежная сила и инерционная результирующая сила в сумме равны нулю. Хотя было бы правильно сказать «равные, но противоположные», я намеренно не сказал этого, потому что эта фраза несет в себе некоторый багаж третьего закона Ньютона. Вымышленная центробежная сила и реальная результирующая сила не являются парами третьего закона.