Фиктивные переменные в интегрировании: ∫x2dx=∫y2dy∫x2dx=∫y2dy\int x^2\,dx=\int y^2\,dy?

Есть два аспекта, которые необходимо проверить и которые могут помочь прояснить ситуацию.

• Первый - это термин фиктивная переменная и ее использование.

• Второй касается замены термина переменных

Ниже приведены некоторые мысли относительно этих двух аспектов.

Фиктивные переменные: синонимом фиктивной переменной является связанная переменная , где связанный атрибут указывает на конкретную область действия переменной. Сначала рассмотрим пример, связанный с определенными интегралами.

Рассмотрим вещественную функцию

$$\begin{align*} &f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\ &f(x)=5x+\frac{1}{3} \end{align*}$$ Есть много других способов написать функцию$f$и двое из них $$\begin{align*} f(x)=5x+\frac{1}{3}&=5x+\int_{0}^1x^2\,dx\tag{1}\\ &=5x+\int_{0}^1y^2\,dy\tag{2} \end{align*}$$

• Мы видим, что правая часть (1) имеет два разных типа переменных, и (из-за небольшого злоупотребления обозначениями) обе они называются$x$. Переменная интегрирования$x$в$\int_{0}^1x^2\,dx$является фиктивной переменной, т. е. связанной переменной с областью действия между знаком интеграла$\int$и$dx$. Обратите внимание, что имя фиктивной переменной не является существенным, поскольку в конце концов интеграл — это просто число.

  $$\begin{align*} \int_{0}^1x^2\,dx=\frac{1}{3} \end{align*}$$ и еще одно прекрасное представление о$\frac{1}{3}$является$\int_{0}^1y^2\,dy$в (2) где$y$просто еще одна фиктивная переменная. Мы можем писать, не сталкиваясь с проблемами $$\begin{align*} \int_{0}^1x^2\,dx=\int_{0}^1y^2\,dy \end{align*}$$ что просто говорит$\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$.

• Совершенно другим видом является переменная$\color{blue}{x}$в$f(\color{blue}{x})=5\color{blue}{x}+\int_{0}^1x^2\,dx$. На этот раз переменная, отмеченная синим цветом$\color{blue}{x}$является свободной переменной и аргументом$x$в$f(x)$обращается к этой переменной и не обращается к переменной интегрирования$x$в (1), которая ограничена своей ограниченностью и небрежно сформулирована, не видна$f$.

Далее рассмотрим другую функцию в сочетании с неопределенным интегралом

$$\begin{align*} &g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\ &g(x)=5x+\frac{1}{3}x^3=5x+\int x^2\,dx\tag{3} \end{align*}$$

Здесь мы принимаем в качестве константы интегрирования ноль и имеем представление$g(x)=5x+\frac{1}{3}x^3$через неопределенный интеграл.

Но есть существенное отличие от (1), потому что здесь область действия переменной интегрирования$x$не ограничивается интегралом. Мы говорим подынтегральная функция$x$это свободная переменная и это та же самая переменная$x$как и другие вхождения символа$x$в (3).

Заключение: $x$в$\int x^2\,dx$не фиктивная переменная, а свободная переменная.

Замена: Заявление

$$\begin{align*} \int x^2 \,dx=\int y^2 \,dy \end{align*}$$ является личностью без предоставления какой-либо дополнительной информации, как мы скоро увидим.

В любом случае мы можем сказать следующее: учитывая неопределенный интеграл

$$\begin{align*} \int x^2 \,dx=\frac{1}{3}x^3+C \end{align*}$$ с$C$постоянная интегрирования, ее можно заменить на $$\begin{align*} \int y^2 \,dy=\frac{1}{3}y^3+C \end{align*}$$ указывающее, что имя свободной переменной интегрирования не имеет значения.

Но мы не говорим$\frac{1}{3}x^3=\frac{1}{3}y^3$является тождеством, так как это скорее уравнение с двумя переменными. По той же причине мы не говорим$\int x^2 \,dx=\int y^2 \,dy$.

Но опять же, это меняется, когда мы добавляем дополнительную информацию в контексте замены, а именно

• Замена$x$к$y$у нас есть:$\int x^2 \,dx=\int y^2 \,dy$.

• Теперь мы фактически имеем систему двух уравнений, а именно

  $$\begin{align*} x&=y\tag{4}\\ \int x^2 \,dx&=\int y^2 \,dy\tag{5} \end{align*}$$ и с учетом (4) уравнение (5) можно считать тождественным.

Примеры: Следующие примеры замены$x$с$2x$в$f$и$g$хорошо указать разницу между использованием связанной переменной и свободной переменной.

$$\begin{align*} &f(2x)=5(2x)+\frac{1}{3}=10x+\frac{1}{3}\\ &f(2x)=5(2x)+\int_{0}^1x^2\,dx=10x+\left.\frac{1}{3}x^3\right|_{0}^{1}=10x+\frac{1}{3}\tag{6} \end{align*}$$ Заметим, что в (6) подынтегральная функция$x$не заменяется$2x$поскольку связанная переменная интегрирования$x$является другим видом. С другой стороны, у нас есть $$\begin{align*} &g(2x)=5(2x)+\frac{1}{3}(2x)^3=10x+\frac{8}{3}x^3\\ &g(2x)=5(2x)+\int (2x)^2\,d(2x)=10x+\int 4x^2\cdot 2\,dx=10+\frac{8}{3}x^3 \end{align*}$$

Вы правы в своем понимании, что$x$является фиктивной переменной.

$\int x^2\, dx$означает набор функций$F(\cdot)$, такой, что$F'(t) = t^2$

Если вы замените$x$с$u$в приведенном выше определении вы можете увидеть альтернативное определение

"$\int u^2\, du$означает набор функций$F(\cdot)$, такой, что$F'(t) = t^2$"

Поскольку альтернативное определение указывает тот же набор функций$F(\cdot)$, они эквивалентны. То есть,$\int x^2\,dx$и$\int u^2 \,du$обозначают один и тот же набор функций.

В частности, позволяя$g_k : t \mapsto \frac{1}{3} t^3 + k$, они обозначают множество функций$\{ g_k \}_{k \in \mathbb R}$.

Что касается вашего другого вопроса, решение состоит в том, что книга Стюарта была небрежной с обозначениями. Я считаю, что это та часть, которую вы имеете в виду.

Ключ - это часть, которая говорит

и поэтому формально, не оправдывая нашего расчета, мы могли бы написать

В учебнике используются «формальные» рассуждения, что обычно означает рассмотрение «формы» или паттерна, создаваемого символами, и манипулирование этими паттернами, не пытаясь рассуждать о скрытом значении. Когда вы используете формальные рассуждения, нет четких правил — вы просто делаете то, что считаете правильным.

Формальное рассуждение подходит для выдвижения гипотез, которые впоследствии проверяются фактическим доказательством. Примером формального рассуждения является правило перезаписи.$\frac{dy}{dx}dx \rightarrow dy$, где символ выглядит как дробь, поэтому вы относитесь к нему как к единице.

В примере из учебника у вас есть$u = 1 + x^2$и$du = 2x dx$. Поскольку представляется правильным подставить эти символы в интегральное выражение, мы так и поступаем. И тогда кажется правильным провести антидифференциацию, как если бы$u$была переменной и т. д. Таким образом, знаки равенства в [2] не следует понимать буквально, а скорее они говорят: «Надеюсь, это окажется оправданным».

во-первых, вы интегрируете не переменные, а функции , во-вторых, вы можете написать$f(x) = x+1$или$f(some\_var) = some\_var + 1$важно, если вы определили функцию$f$достаточно, то же самое в интегралах и т. д., одну вещь следует иметь в виду, что когда вы будете выполнять какое-то преобразование переменных для упрощения уравнений, вы должны убедиться, что вы применяете это преобразование ко всем вхождениям подставляемых переменных, поэтому, например, когда вы будете замените какое-то выражение, и у вас есть производная от этого выражения, вам нужно вычислить производную вашего преобразования, а затем заменить все вхождения, относящиеся к вашим преобразованиям