Форма резервуара, в котором уровень воды падает с постоянной скоростью [дубликат]

Спасибо за интересный вопрос, я никогда не думал, что есть геометрия, которая приводит к постоянному уменьшению высоты водной поверхности. Несколько моментов, которые вы должны учитывать:

1. Обычно для этих типов задач мы выбираем геометрию, в которой площадь поверхности воды$A$намного больше, чем площадь выноса$a$, т.е.$a/A\ll1$. Из баланса массы$u_wA = u_{out}a$, следует, что$u_w/u_{out}=a/A\ll1$или что скорость у поверхности воды намного меньше, чем у стока. Теперь, когда уравнение Бернулли рассматривает квадраты скоростей, это становится еще более очевидным, и мы можем просто предположить, что поверхность воды практически стационарна с точки зрения механической энергии. Если вы затем правильно выберете систему координат, т.е.$z=0$уравнение Бернулли упрощается до: $$\frac{1}{2}v\left(t\right)^2=gh\left(t\right)$$ где$v$скорость истечения и$h$это высота поверхности воды.
2. Переменная площадь$A\left(t\right)$водной поверхности с высотой необходимо учитывать баланс массы: $$\frac{dV}{dt}=-av\rightarrow\frac{d}{dt}\left(Ah\right)=-a\sqrt{2gh}$$ Используя правило продукта: $$\frac{d}{dt}\left(Ah\right)=A\frac{dh}{dt}+h\frac{dA}{dt}$$ Площадь поверхности связана с радиусом$r\left(h\right)$танка на определенной высоте: $$A=\pi r^{2}=\pi R^{2}\left(\frac{h}{H}\right)^{2n}$$ где использовалась ваша функция$r=f\left(h\right)$. Подставляя это в приведенное выше уравнение, мы получаем: $$\frac{d}{dt}\left(Ah\right)=\left(1+2n\right)\pi R^{2}\left(\frac{h}{H}\right)^{2n}\frac{dh}{dt}$$ и массовый баланс сводится к: $$\left(1+2n\right)\pi R^{2}\left(\frac{h}{H}\right)^{2n}\frac{dh}{dt}=-a\sqrt{2gh}$$ Это дает вам дифференциальное уравнение для$h\left(t\right)$которое решается с начальным условием$h\left(0\right)=H$используя простую интеграцию. Это может показаться сложным, но это не после некоторой перестановки. Совет: я склонен не придавать этим уравнениям размерности, чтобы с ними было легче работать. Для этого перепишем уравнение в терминах: $$\theta=\frac{h}{H}\quad\tau=\frac{t}{T}\quad T=\frac{\left(1+2n\right)\pi R^{2}H}{a\sqrt{2gH}}$$ В качестве бонуса это дает вам шкалу времени$T$что является порядковой оценкой того, сколько времени потребуется, чтобы опустошить резервуар
3. Хотя вышеупомянутое интегрирование не так сложно, чтобы найти значение$n$на самом деле не требует решения для профиля$h\left(t\right)$. Вместо этого, как вы правильно заметили, для того, чтобы скорость была постоянной, нам требуется: $$\frac{dh}{dt}=K$$ где$K$является некоторой константой. К сожалению, мы не знаем эту константу, поэтому это соотношение не может помочь нам в определении$n$. Однако, если скорость постоянна, что это говорит о скорости скорости, т.е.$\frac{d^2h}{dt^2}$? Используйте это, чтобы найти$n$, что затем позволяет найти$K$(который должен быть независим от$h$; если нет то что-то пошло не так) и наконец профиль$h$из дифференциального уравнения (если вам интересно, вы должны найти профиль для$h$является линейным).

Я предполагаю, что патрубок подключен на высоте$z_0$где радиус$r_0$, и что в этот момент жидкость находится при атмосферном давлении. Тогда из уравнения Бернулли скорость спуска$\dot z$верхней поверхности жидкости определяется выражением
$\dot z^2+2gz=\dot z_0^2+2gz_0$.

Предполагая, что жидкость несжимаема, из условия непрерывности имеем
$\pi r^2 \dot z = \pi r_0^2 \dot z_0$
$\dot z_0 = \dot z (\frac{r}{r_0})^2 = \dot z (\frac{z}{z_0})^{2n}$.
Подставим в уравнение Бернулли:
$\dot z^2 + 2gz = 2gz_0 + \dot z^2 (\frac{z}{z_0})^{4n}$.

$\dot z$постоянно. Если это уравнение выполняется для всех значений$z$затем сравнивая мощности и коэффициенты$z^1=z$и$z^0=1$с обеих сторон мы должны иметь
$n=\frac14$
$\dot z^2 = 2gz_0$.