Функториальные свойства степени в векторных расслоениях

Позволять Икс быть римановой поверхностью † и рассмотрим комплексное векторное расслоение Е над ним. Я знаю, что определение степени расслоения Е дан кем-то

град Е "=" я 2 π ∫ Икс след Ф А
где Ф А кривизна, вызванная произвольным соединением А на Е .

Я знаю, что степень зависит исключительно от топологии расслоения, а не от произвольного соединения А используется в определении. Я хотел бы знать, каковы степени связанных векторных расслоений, таких как:

  • Тензорное произведение, град ( Е 1 ⊗ Е 2 ) .
  • Прямая сумма, град ( Е 1 ⊕ Е 2 ) .
  • Коэффициенты, град ( Е / Ф ) где Ф ⊂ Е является подгруппой.

Я думаю, что могу доказать, что для прямых сумм и тензорных произведений степень аддитивна, используя связи прямой суммы и тензорного произведения, но я затрудняюсь вычислить степень в фактор-расслоении.

† : я ограничиваю вопрос римановыми поверхностями, чтобы степень также не зависела от формы объема базового пространства. Икс , хотя я знаю, что степень может быть определена относительно данной метрики/объема/келеровой формы в более высоких измерениях.

Вы знаете, что я 2 π след ⁡ Ф А является представителем с 1 ( Е ) ?
Да я понимаю, что это представитель класса Черня. Отсюда видно, что для прямых сумм
с 1 ( Е 1 ⊕ Е 2 ) "=" с 0 ( Е 1 ) ∧ с 1 ( Е 2 ) + с 1 ( Е 1 ) ∧ с 0 ( Е 2 ) "=" с 1 ( Е 1 ) + с 1 ( Е 2 )
и поэтому степень распадается как сумма степеней.
Правильный. Точно так же вам просто нужно выразить с 1 ( Е ⊗ Ф ) и с 1 ( Е / Ф ) с точки зрения с 1 ( Е ) и с 1 ( Ф ) чтобы ответить на ваш вопрос.
@MichaelAlbanese Я мало что нашел о классе продуктов и коэффициентов Черна. Я пытаюсь решить проблему, требующую вычисления степени частных векторных расслоений низкого ранга. Существуют ли какие-либо упрощения, скажем, для линейных расслоений или расслоений над проективными пространствами?

Ответы (1)

Как я упоминал в комментариях, я 2 π след ⁡ Ф А является представителем с 1 ( Е ) по теории Черна-Вейля. Поэтому

град ⁡ ( Е ) "=" я 2 π ∫ Икс след ⁡ Ф А "=" ∫ Икс с 1 ( Е ) .

Таким образом, формулы для степени следуют из формул для первого класса Черна.

Для тензорного произведения можно показать, что с 1 ( Е 1 ⊗ Е 2 ) "=" классифицировать ⁡ ( Е 1 ) с 1 ( Е 2 ) + классифицировать ⁡ ( Е 2 ) с 1 ( Е 1 ) с помощью принципа расщепления или характера Черна; см. этот ответ для обоих методов в особом случае, когда один из векторных пучков является линейным пучком.

Что касается двух других случаев, напомним, что первый класс Черна аддитивен в коротких точных последовательностях. Из короткой точной последовательности

0 → Е 1 → Е 1 ⊕ Е 2 → Е 2 ,

Мы видим, что с 1 ( Е 1 ⊕ Е 2 ) "=" с 1 ( Е 1 ) + с 1 ( Е 2 ) . Точно так же из короткой точной последовательности

0 → Ф → Е → Е / Ф → 0 ,

Мы видим, что с 1 ( Е ) "=" с 1 ( Ф ) + с 1 ( Е / Ф ) , так с 1 ( Е / Ф ) "=" с 1 ( Е ) − с 1 ( Ф ) . Обратите внимание, что это также можно вывести из первой короткой точной последовательности, потому что классы Черна являются топологическими, а короткие точные последовательности непрерывных векторных расслоений всегда расщепляются.

Поэтому

град ⁡ ( Е 1 ⊗ Е 2 ) "=" классифицировать ⁡ ( Е 1 ) град ⁡ ( Е 2 ) + классифицировать ⁡ ( Е 2 ) град ⁡ ( Е 1 ) град ⁡ ( Е 1 ⊕ Е 2 ) "=" град ⁡ ( Е 1 ) + град ⁡ ( Е 2 ) град ⁡ ( Е / Ф ) "=" град ⁡ ( Е ) − град ⁡ ( Ф ) .

Заметим, что эти тождества верны и на компактном келеровом многообразии.

Функториальные свойства степени в векторных расслоениях
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v