Кому впервые пришла в голову идея изучать поверхности через кольца функций, как в алгебраической геометрии?

Каноническим справочником по этому вопросу является «История алгебраической геометрии» Дьёдонна . Сокращенная версия «Историческое развитие алгебраической геометрии» находится в свободном доступе, см. также слайды Истона .

Сначала позвольте мне сделать общий комментарий. Когда мы задаемся вопросом: «Но кто-то первым соединил эти две [современные идеи]?» мы молчаливо предполагаем, что они всегда были доступны по отдельности, ожидая соединения. Но правда часто в том, что они были разработаны в связидруг другу. Риман действительно сыграл важную роль в создании современной алгебро-геометрической основы, но у него не было идеи изучать поверхности через кольца функций по той простой причине, что в его время (общая) концепция римановых поверхностей, не говоря уже о кольцах функций , не существует. Он изучал абелевы интегралы, что привело его к рассмотрению поверхностей, на которых определены голоморфные и мероморфные функции, такие как абелевы интегралы. И к тому времени, когда Кронекер и Дедекинд-Вебер разработали подходящие алгебраические концепции, связь между ними уже была продемонстрирована в работах Римана. Так что ни у кого изначально не было такой идеи.

Вот некоторые детали, описанные Дьедонне:

« Совершенно парадоксально, что в работах этого удивительного гения, из которых алгебраическая геометрия выходит полностью перерожденной, почти не упоминается алгебраическая кривая, именно из его теории алгебраических функций и их интегралов вся бирациональная геометрия выпусков девятнадцатого и начала двадцатого веков.

[...] Вместо того, чтобы начать (как это сделали бы все его предшественники и большинство его непосредственных преемников) с алгебраического уравнения$F(s, z) = 0$и риманова поверхность алгебраической функции$s$из$z$который он определяет, его исходным объектом является$n$-листная риманова поверхность без края и с конечным числом точек ветвления, заданная априори без какой-либо ссылки на алгебраическое уравнение... Таким образом, абстрактная риманова поверхность$S$фактически идентична алгебраической функции$s(z)$определяется$F(s, z) = 0$, и Риман связывает с ним то, что после Дедекинда будет называться полем мероморфных (или рациональных) функций на$S$. [выделено Дьедонне]

Идеи Римана были отражены в двух основополагающих статьях 1882 года Кронекера ( Grundzüge einer arithmetischen Theorie der Alexandraischen Grössen , журнал Crelle, 92, 1–122 ) и Дедекинда-Вебера ( Journal für die reine und angewandte Mathematik , 92, 181–290 ). :

« Первой задачей, к которой обратилась каждая школа алгебраической геометрии, была поэтому систематизация бирациональной теории алгебраических плоских кривых, включающая большинство результатов Римана с доказательствами в соответствии с принципами школы... тесная связь между алгебраическими многообразиями и теорией комплексных многообразий, Кронекер и Дедекинд-Вебер впервые выявили глубокое сходство между алгебраической геометрией и расцветающей теорией алгебраических чисел ... эта концепция алгебраической геометрии является для нас наиболее ясной. и самый простой, благодаря нашему знакомству с абстрактной алгеброй » .

Кронекер начал определять многообразия в терминах колец полиномов, исчезающих на них, и развил понятия подмногообразия и размерности в терминах идеалов (которые он назвал Modulsystems ).

« Цель Дедекинда и Вебера в их фундаментальной работе была совсем иной и гораздо более ограниченной, а именно: они дали чисто алгебраические доказательства всех алгебраических результатов Римана. Они исходят из того, что для Римана класс изоморфных римановых поверхностей соответствует полю$K$рациональных функций, которое является конечным расширением поля$C(X)$рациональных дробей в одном неопределенном над комплексным полем; что они намереваются сделать, и наоборот, если конечное расширение$K$поля$C(X)$задан абстрактно , состоит в восстановлении римановой поверхности$S$такой, что$K$будет изоморфно полю рациональных функций на$S$.

Эта идея обычно приписывается Дедекинду и Веберу в «Теории алгебраических функций в истинном праве» (1882 г.): [ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,...].

Я не думаю, что это был Риман или что Риман знал, что любое кольцо функций определяет поверхность. На самом деле Риман изучал компактные поверхности, на которых кольцо регулярных функций тривиально, а вместо этого изучал поле мероморфных функций.

Представление о том, что кольцо функций определяет пространство, имеет гораздо более позднее происхождение. Его можно проследить до теории коммутативных банаховых алгебр Гельфанда, и Гротендик привнес его в алгебраическую геометрию.