Гамма-функция и функция Пи

Я изучал дифференциальные уравнения, в частности специальные функции.

Гамма -функция Эйлера и функция Пи Гаусса по существу одинаковы, отличаясь только смещением на одну единицу.

для г е С , р ( г ) > 0

Г ( г ) "=" ∫ 0 ∞ Икс г − 1 е − Икс г Икс

Π ( г ) "=" Г ( г + 1 ) "=" ∫ 0 ∞ Икс г е − Икс г Икс

Оба расширяют понятие факториала (которое определено только для положительных целых чисел).

Г ( г + 1 ) "=" Π ( г ) "=" г ! , г е Z ≥ 0

Функция Пи кажется более естественным аналогом факториала (она не вводит единичное смещение). В моем учебнике используется исключительно функция Гамма, а функция Пи вообще не упоминается. Мне было интересно, есть ли веские причины сосредоточиться на гамма-функции (предположительно, это упрощает некоторые вычисления в дальнейшем).

Лучшая причина, которую я могу придумать, это то, что для преобразований Лапласа

л { т р } "=" Π ( р ) с р + 1 "=" Г ( р + 1 ) с р + 1 , р ≥ − 1 е р
Использование функции Gamma здесь сохраняет некоторую симметрию. Я не уверен, что это причина, или если есть какие-то тонкости, которые я полностью упускаю.

Ответы (2)

Поскольку вы упоминаете преобразования Лапласа, в его нынешнем виде Г ( с ) является преобразованием Меллина е − Икс .

Вот еще одна причина, пожалуй, самая убедительная. Мера Хаара подмножества С ⊂ р × мультипликативной группы действительных чисел есть ∫ Икс е С г т т , поэтому мера г т т над реальной линией является естественным. Гамма-функция является аналогом суммы Гаусса и представляет собой интеграл мультипликативной функции Икс с против аддитивной функции е − Икс над мерой группы.

Эта задача была поставлена ​​на Math Overflow и получила там большое количество голосов. Взгляните на ответы, появившиеся в этой теме: https://mathoverflow.net/questions/20960/why-is-the-gamma-function-shifted-from-the-factorial-by-1 .

Я не могу понять большую часть информации на этой странице, . . . что-то связанное с выбором расположения сложных полюсов. Хотите уточнить?
Я все еще заканчиваю второй год обучения в университете и еще не коснулся таких вещей, как: преобразование Меллина; мера Хаара; Сумма Гаусса. Поэтому сказать, что я не могу правильно понять ваш ответ, — это сильное преуменьшение. Я просмотрел вики-страницы по таким вещам, но они оказались столь же запутанными/выше моего уровня. Я все еще ценю ваш ответ, и я принял его, потому что у меня нет причин сомневаться. Однажды я пойму эти концепции и плохо перечитаю ваш пост, и тогда он будет иметь для меня больше смысла.
@UnkleRhaukus, «мера Хаара» просто означает, что ∫ 0 ∞ ф ( т ) г т т не меняется при замене переменных т → с ⋅ т с с > 0 , то есть, ∫ 0 ∞ ф ( с т ) г ( с т ) ( с т ) "=" ∫ 0 ∞ ф ( т ) г т т . Это причина, чтобы сохранить деление на- т с г т , а не иметь т с − 1 в интеграле, определяющем Г ( с ) . «Преобразование Меллина» - это просто преобразование Фурье в разных координатах и ​​т. Д. Часто терминология более причудлива, чем лежащая в основе математика.
@ElementsinSpace Прямо сейчас я нахожусь примерно в том же положении, что и вы в прошлом году :) У вас случайно нет простого / элементарного объяснения этих идей, которое имело бы смысл для того, кто не изучал меры Хаара? Если да, пожалуйста, дайте мне знать, я думаю задать вопрос об этих проблемах. Ваше здоровье! (И я понимаю, что этот пост очень старый, извините за это)

Эта тема обсуждается в книге Джеймса Боннара «Гамма-функция» . Π ( г ) "=" г ! обозначение принадлежит Гауссу и иногда встречается в более старой литературе. Обозначение Г ( г + 1 ) "=" г ! принадлежит Лежандру. Мотивация Лежандра для нормализации, по-видимому, неизвестна. Корнелиус Ланцош назвал это «лишенным какой-либо рациональности» и вместо этого использовал бы г ! . Формула Лежандра упрощает некоторые формулы, но усложняет большинство других.

Гамма-функция и функция Пи
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v