Всегда ли сумма двух линейных выражений является линейным выражением?

Несколько недель назад мой сын пришел ко мне и спросил, почему автоматическая программа домашних заданий по математике, которую использовали в школе, сообщала ему, что сумма двух линейных выражений не всегда является линейным выражением. На этом этапе наши вопросы задаются для нашего собственного интереса, вызванного проблемой домашнего задания. Как человеку, который имеет дело в основном с уравнениями, а не с выражениями, мне потребовалось несколько недель (мы заняты), чтобы понять, из-за того, что я не знаком с тем, как определяются вещи, поэтому позвольте мне поделиться некоторыми определениями, прежде чем я спрошу своих вопросы.

Выражение

«Выражение — это математическая фраза, которая объединяет числа, переменные и операторы, чтобы показать значение чего-либо». Он не содержит знака равенства. Разница между выражением и уравнением

В этом контексте им нравится заменять слово «оценка» на «равно», когда вы подставляете значение переменной и решаете проблему.

Например:

5 Икс + 4 это выражение, но 0 "=" 5 Икс + 4 не является.

Линейный

Вместо того, чтобы иметь графическое/геометрическое определение линии или определенной формы уравнения, линейное в данном случае говорит о том, что мощность каждой переменной в выражении равна 1 .

Например:

5 Икс , 5 Икс + 5 у , 5 Икс + 2 все линейны. 5 Икс 2 не является линейным.

Вопросы:

Из решения ответа следует следующее. Предположим, у вас есть два линейных выражения, где одно выражение имеет противоположное значение переменной из другого выражения (например: 5 Икс + 2 и − 5 Икс + 2 ), то сложение этих двух выражений является константой, а не линейным выражением, поскольку у вас нет переменной со степенью 1 .

  1. Почему ответ на предыдущий пример сложения двух выражений 5 Икс + 2 и − 5 Икс + 2 не быть 0 Икс + 2 а не просто 2 ? Бы 0 Икс + 2 по-прежнему считать линейным выражением с учетом приведенных выше определений? Когда мы будем иметь дело с линейными функциями позже, если у вас есть ф ( Икс ) "=" 2 , то у вас есть подразумеваемый 0 Икс там. Почему это считается другим?

  2. Эти определения широко используются или они созданы конкретным автором/издателем? Я считаю, что это должно быть связано со стандартом Common Core для 6-8 классов по выражениям и уравнениям, но я не смог понять, как это сделать.

  3. Откуда берутся эти определения в отношении какой области математики? Я в основном собираю их в Интернете.

  4. Где эта форма используется, кроме как в преподавании математики? Куда я могу обратиться, чтобы узнать больше о том, как он используется и почему он существует?

    Я хотел бы иметь возможность объяснить своему ребенку, где, как и почему он используется таким образом. Если это просто еще один из тех строительных шагов с дополнительным поворотом, которые используются в школе, чтобы перейти к следующей теме (линейные уравнения), и что, как только он закончит этот год, он может в основном игнорировать для использования в остальной части математики, что тоже хорошо.

  5. Кажется, что в этой оценке есть подразумеваемое равенство. Даже в разных местах, где я вижу его использование в детских школьных учебниках, я вижу, что они используют знак равенства, когда говорят об оценке выражения. В чем разница, которую пытаются преподавать с различием между оценкой и равенством в этом контексте?

Дополнения на основе комментариев:

Сама компьютеризированная система предоставила утверждение, в котором вы могли изменить ответ, будь то действительный или нет. Это было перефразировано в форме: «Ваш друг говорит, что сумма двух линейных выражений всегда является линейным выражением. Он прав?» Затем вам дали утверждение, в котором вы могли изменить формулировку утверждения, похожего на следующее, снова перефразированное. «Если вы добавите два линейных выражения, где одно выражение имеет противоположное [переменная | константа] значение, то результат их сложения вместе [является|не является] линейным выражением.

Вот пример, в котором это указывает на то, что сложение этих двух выражений не является линейным выражением.

  • Выражение 1: 4 Икс + 2
  • Выражение 2: − 4 Икс + 2
  • ( 4 Икс + 2 ) + ( − 4 Икс + 2 ) ⟹ 2
  • 2 является константой и, следовательно, не является линейным выражением.

Я никогда не видел, чтобы это конкретное определение для линейного использовалось где-либо еще. Я больше знаком с термином «линейный», поскольку комментарий Дж. Моравица описан с использованием термина «аффинный» или в формах алгебраического уравнения. у "=" м Икс + б и связанные с ним формы. Мои вопросы касаются того, откуда взялось это определение линейности и где я могу узнать о нем больше?

Можете ли вы привести пример двух «линейных выражений», таких, что система не считала их сумму линейной? Конечно, автоматизированные системы могут быть очень глупыми. Я бы сказал, что "линейное выражение" здесь просто означает " а Икс + б для некоторых а , б е р ".Может система требует а ≠ 0 ?
Если линейное выражение определяется как «степень каждой переменной равна 1», то любая константа (пусто) линейна, поскольку переменных нет. Однако я не думаю, что это хорошее определение, например у 2 − у 2 + Икс не будет линейным по этому определению, несмотря на то, что эквивалентен Икс .
@ Jean-ClaudeArbaut Согласен, хотя для элементарных математических текстов вполне стандартно ссылаться на такие системы, как а Икс + б как линейный. Ведь график такой функции представляет собой линию.
Просто подчеркну: я видел примеры нелепой жесткости автоматизированных систем. Например, даже если вероятности указаны в задаче в виде десятичных дробей, система отклоняет все ответы, не опубликованные в процентах. Я бы назвал такие вещи «ошибками», я бы не стал пытаться основывать на них хорошую математику.
Кроме того, из-за путаницы между линейным в смысле «график линии» и линейным в смысле линейной алгебры, вы увидите, что график значения линии будет называться вместо « аффинным », чтобы избежать дальнейшей путаницы на более высоких уровнях. . К сожалению, учебники более низкого уровня и широкая публика еще не усвоили эту конвенцию.
@Jean-ClaudeArbaut И на английском тоже! Хотя, как я уже сказал, элементарные тексты, как правило, довольно небрежно относятся к различию.
Я пометил этот вопрос как слишком широкий. Я вижу здесь как минимум три вопроса: (1) Что означает линейность функции? (2) Где я могу прочитать об этом определении? и (3) Что говорит об этом общее ядро? (1) почти наверняка есть ответ по MSE; (2) здесь может быть разумным вопросом, но, вероятно, его лучше задать преподавателям математики ; и (3) определенно лучше подходит для преподавателей математики .
Кроме того, с точки зрения линейности в смысле линейной алгебры, ф ( Икс ) "=" 5 Икс + 2 не является линейным ( хотя и аффинным ), так как не удовлетворяет требованию, что ф ( α Икс 1 + β Икс 2 ) "=" α ф ( Икс 1 ) + β ф ( Икс 2 ) , например ф ( 0 Икс ) "=" 2 ≠ 0 "=" 0 ф ( Икс )
Касаемо линейной функции, я в курсе что такое линейная функция. Меня больше интересовало это альтернативное определение, которое использовалось и откуда оно взялось. Несколько вопросов по этой теме предназначены для того, чтобы указать читателю правильное направление для того, что я искал. Common Core был просто ссылкой, которую я использовал при исследовании темы. Меня не волнует, что Common Core может сказать об этом в частности, кроме того, как это относится к общему вопросу. Если вы считаете, что matheducators.stackexchange.com лучше справится с ветвью математики, я спрошу там.
Всегда бывает так, что примеры гораздо полезнее, чем определения, особенно там, где возникает путаница. Можете ли вы привести пример двух «линейных выражений», которые машина называет суммой чего-то, что не является «линейным выражением»? Бьюсь об заклад, один пример прояснит весь вопрос.

Ответы (1)

Краткий ответ: предоставленное решение неверно. Линейность не должна характеризоваться «значением мощности, до которой Икс Поднялся".

Точное определение зависит от контекста — начальная школа, алгебра I, линейная алгебра в колледже. Ваш аргумент о линиях на плоскости подходит для 6 класса.

При любом разумном определении сумма линейных вещей будет линейной.

Для обсуждения знака равенства это может помочь:

Что такое уравнение?

Всегда ли сумма двух линейных выражений является линейным выражением?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v