Где локальность используется в неравенстве CHSH/Белла?

Для большей ясности я буду использовать обозначение$A_0$и$A_1$, вместо$A$и$A'$, чтобы обозначить результаты для различных настроек измерения, и то же самое с$B$.

Ожидаемые значения определяются как

$$E(A_xB_y)\equiv\int d\lambda\, q(\lambda)\, E_\lambda(A_xB_y) =\int d\lambda\, q(\lambda)\sum_{ab} ab \,p(ab|xy,\lambda),$$ где$q(\lambda)$вероятность того, что скрытая переменная имеет значение$\lambda$, и$p(ab|xy,\lambda)$это (совместная) вероятность получения результатов$a$и$b$учитывая настройки измерения$x$и$y$и скрытая переменная$\lambda$.

Предположение о локальности (плюс предположение о независимости выбора измерения) включено в следующую факторизацию для$p$:

$$p(ab|xy,\lambda)=p(a|x,\lambda)p(b|y,\lambda).\tag A$$

Это отношение необходимо, чтобы$E_\lambda(A_x B_y)=E_\lambda(A_x)E_\lambda(B_y)$, так что

$$\begin{aligned} E(A_0B_0)+E(A_0B_1) &=\int d\lambda \,q(\lambda)[E_\lambda(A_0)E_\lambda(B_0)+E_\lambda(A_0)E_\lambda(B_1)] \\ &= \int d\lambda \,q(\lambda)E_\lambda(A_0)[E_\lambda(B_0)+E_\lambda(B_1)], \end{aligned}$$ где $$E_\lambda(A_x)\equiv\sum_a a \,p(a|x,\lambda),\quad E_\lambda(B_y)\equiv\sum_b b \,p(b|y,\lambda).$$ Без предположения о местонахождении вышесказанное было бы неверным.

Аналогичное рассуждение приводит к

$$E_\lambda(A_1B_0)-E_\lambda(A_1B_1) = E_\lambda(A_1)[E_\lambda(B_0)-E_\lambda(B_1)].$$

Вывод теперь прямо отсюда. Определять

$$S_\lambda\equiv E_\lambda(A_0B_0)+E_\lambda(A_0B_1)+E_\lambda(A_1B_0)-E_\lambda(A_1B_1).$$ Тогда, используя приведенные выше равенства, имеем $$S_\lambda= E_\lambda(A_0)[E_\lambda(B_0)+E_\lambda(B_1)] + E_\lambda(A_1)[E_\lambda(B_0)-E_\lambda(B_1)].$$ Неравенство треугольника вместе с тем фактом, что по определению чисел, которые мы связываем с возможными выходами, имеем$0\le E_\lambda(A_i)\le 1$, теперь дает $$\lvert S_\lambda\rvert\le \lvert E_\lambda(B_0)+E_\lambda(B_1)\rvert + \lvert E_\lambda(B_0) - E_\lambda(B_1)\rvert = 2 \max(E_\lambda(B_1),E_\lambda(B_2)).$$ Используя снова, что по определению$0\le E_\lambda(B_i)\le 1$, делаем вывод, что$\lvert S_\lambda\rvert \le 2$.

Полный$S$теперь определяется усреднением$S_\lambda$над скрытой переменной$\lambda$, а поскольку выпуклая смесь чисел в$[-2,2]$остается в$[-2,2]$, приходим к выводу:

$$\lvert S\rvert\le 2.$$

Но мы могли бы проделать тот же трюк, если бы A также зависело от b, так где же используется локальность?

Нет, ты не мог.

Если исход$A$напрямую зависит от$B$, то (A) не выполняется, поэтому вероятности не факторизуются ($E(AB)\neq E(A)E(B)$), таким образом$E(A_0B_0)+E(A_0B_1)\neq E(A_0(B_0+B_1))$, поэтому аргумент CHSH не может быть применен.

Разве ожидания не всегда линейны?

Действительно они есть . Предположение о локальности необходимо не для линейности, а для факторизации значений вероятностей/ожиданий, чтобы представить их в виде$E_\lambda(A_0)[E_\lambda(B_0)+E_\lambda(B_1)]$, после чего применяется аргумент CHSH.