Геометрическое место середины точек пересечения касательных к эллипсу

Эллипс имеет уравнение

$$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$$ Применение $\frac{d}{dx}$Вы получаете

$$\begin{align} \frac x8 + \frac{2y}{9} \frac{dy}{dx}&=0 \\ \implies \frac{dy}{dx} & = -\frac{9x}{16y} \end{align}$$

то есть в точку$(x,y)$на эллипсе касательная имеет градиент$-\frac{9x}{16y}$.

Параметризуйте эллипс как$(x(t),y(t))=(4cost,3sint)$где$0≤t<2 \pi$. Тогда в такой точке касательная имеет градиент$-\frac{9(4cost)}{16(3sint)}=-\frac 34 cot(t)$, так что уравнение касательной

$$y=-\frac 34 x cot(t)+3csc(t)$$

Эта линия пересекает$x$и$y$оси в точках$(4sec(t),0)$и$(0,3csc(t))$соответственно. Средняя точка между этими двумя точками будет$(2sec(t),1.5csc(t))$, и вспомним, что$0≤t<2\pi$.

Итак, в параметрической форме геометрическое место середины касательных равно

$$\begin{align} & x=\frac{2}{cos(t)} \\ & y=\frac{3}{2sin(t)} \\ \end{align}$$

то есть$\frac 1x = \frac 12 cos(t)$и$\frac 1y = \frac 23 sin(t)$, и мы видим, что они удовлетворяют$4 \frac {1}{x^2} + \frac 94 \frac {1}{y^2} = 1$, следовательно

$$\frac{16}{x^2}+\frac{9}{y^2}=4$$ как требуется.

Уравнение касательной эллипса

$$\frac{xx_1}{16}+\frac{yy_1}{9}=1$$

Предположим, что середина пересечений касательной равна$(h,k)$

Пересечения, сделанные касательной к осям координат, равны$(\frac{16}{x_1},0)$и$(0,\frac{9}{y_1})$по осям x и y соответственно.

С$(h,k)$будет серединой отрезков, соединяющих точки пересечения,

$h=\frac{16}{2x_1}=\frac{8}{x_1}$и$k=\frac{9}{2y_1}$

Так,

$$x_1=\frac{8}{h}$$ и $$y_1=\frac{9}{2k}$$

Но с тех пор$x_1$и$y_1$точки на эллипсе,

$$\frac{x_1^2}{16}+\frac{y_1^2}{9}=1$$

$$\implies \frac{1}{16}(\frac{64}{h^2})+\frac{1}{9}(\frac{81}{4k^2})=1$$

Так,

$$\frac{4}{h^2}+\frac{9}{4k^2}=1$$ $$\implies\frac{16}{h^2}+\frac{9}{k^2}=4$$

Итак, место точки$(h,k)$является

$$\frac{16}{x^2}+\frac{9}{y^2}=4$$ Обратитесь к этому изображению, чтобы увидеть график функции