Данное геометрическое место является окружностью, докажите, что две прямые перпендикулярны

Игнорируя случай параллельных (или совпадающих) прямых, предположим$\ell_1$и$\ell_2$встретимся в уникальной точке$O$. Любой круг о$O$пересекает линии в вершинах прямоугольника$\square ABCD$; он также пересекает биссектрисы углов, образованных этими линиями в вершинах квадрата.$\square WXYZ$(потому что биссектрисы обязательно перпендикулярны).

Каждая вершина$\square ABCD$находится на расстоянии$0$от любого$\ell_1$или$\ell_2$, и находится на некотором общем расстоянии (скажем,$k$) от другого$\ell_1$или$\ell_2$. Таким образом, «сумма квадратов расстояний до прямых» есть константа (а именно,$k^2$) по всем четырем точкам, откуда следует, что$\bigcirc O$должен быть одним из «окружностей локуса», определяемых линиями. Тогда эта сумма также должна быть постоянной в вершинах$\square WXYZ$, так как эти вершины лежат на этой геометрической окружности; в частности, суммы за$W$и$X$одно должно совпадать. Однако, поскольку$W$лежит на биссектрисе угла, сумма квадратов расстояний от$W$до обеих линий просто удваивает квадрат расстояния до любой линии; аналогично для$X$. Делаем вывод, что расстояния от каждого из$W$и$X$каждому из$\ell_1$и$\ell_2$ все совпадают, делая одну из линий параллельной сегменту$\overline{WX}$а другая линия - биссектриса этого отрезка.$\square$

Позволять$l_1$быть предоставлено$a_1x+b_1y+c_1=0$и$l_1$быть предоставлено$a_2x+b_2y+c_2=0$.

Позволять$P$быть точкой$(h,k)$и$d_j$быть расстоянием точки$P$из линии$l_j$. Затем,

$$d_1=\frac{|a_1h+b_1k+c_1|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}} \quad \text{ and } \quad d_2=\frac{|a_2h+b_2k+c_2|}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$$

Нам дано, что геометрическое место точек, для которых$d_1^2+d_2^2=s$(где$s$— некоторая константа) — окружность. Позволять$\lambda_1=a_1^2+b_1^2$и$\lambda_2=a_2^2+b_2^2$. Обратите внимание, что

$$d_1^2+d_2^2=\left(\frac{\lambda_2a_1^2+\lambda_1a_2^2}{\lambda_1 \lambda_2}\right)h^2+\left(\frac{\lambda_2b_1^2+\lambda_1b_2^2}{\lambda_1 \lambda_2}\right)k^2+\left(\frac{2a_1b_1}{\lambda_1}+\frac{2a_2b_2}{\lambda_2}\right)hk+\dotsb$$ Чтобы это был круг,

1. коэффициент$hk$должно быть$0$, и
2. коэффициенты$h$и$k$должны быть равны.

Таким образом, у нас есть

$$\begin{align*} \lambda_2a_1^2+\lambda_1a_2^2 & = \lambda_2b_1^2+\lambda_1b_2^2\\ a_1b_1\lambda_2+a_2b_2\lambda_1 & = 0 \end{align*}$$

Решив это, получим

$$(a_1a_2)^2 = (b_1b_2)^2 \implies a_1a_2 = \pm b_1b_2.$$

Попытайтесь понять, почему$a_1a_2=b_1b_2$не произойдет. Тогда остается только$a_1a_2+b_1b_2=0$что является условием перпендикулярности$l_1$и$l_2$.