Свойство эллипсов, включающих нормали в концах фокальной хорды и в середине этой хорды

Это упражнение можно понимать как применение общего результата о биссектрисах периметра треугольников.

Предложение. Данный$\triangle ABC$с вписанным кругом$\bigcirc I$встреча краев в$D$,$E$,$F$как показано. Если$F^\prime$это точка напротив$F$в$\bigcirc I$, и если$F^{\prime\prime}$это точка, где$\overleftrightarrow{CF^\prime}$встречается$\overline{AB}$, затем

$$|\overline{CA}|+|\overline{AF^{\prime\prime}}| = |\overline{CB}|+|\overline{BF^{\prime\prime}}| \tag{$\star$}$$ так что $\overline{CF^{\prime\prime}}$является биссектрисой периметра $\triangle ABC$.

Доказательство предложения. Пусть перпендикуляр к$\overline{FF^\prime}$в$F^\prime$пересекаются стороны треугольника в$A^\prime$и$B^\prime$. По касательным свойствам окружностей имеем

Предложение имеет полезное следствие .

Следствие . Данный$\triangle ABC$с центром$I$и биссектриса периметра$\overline{CF^{\prime\prime}}$, если$M$включен$\overline{AB}$такой, что$\overline{IM} \parallel \overline{CF^{\prime\prime}}$, затем$M$это середина$\overline{AB}$.

Доказательство следствия. Точки касания треугольника с вписанной окружностью делят периметр на три пары конгруэнтных отрезков, отмеченных$a$,$b$,$c$. Таким образом, полупериметр$\triangle ABC$является$a+b+c$, и с тех пор$|\overline{BC}| = b+c$, следует, что$|\overline{BF^{\prime\prime}}| = a = |\overline{AF}|$. Таким образом,$\overline{FF^{\prime\prime}}$лежит между конгруэнтными отрезками. В$\triangle FF^\prime F^{\prime\prime}$, сегмент$\overline{IM}$проходит через середину одной из сторон ($\overline{FF^\prime}$) и параллелен другому ($\overline{F^\prime F^{\prime\prime}}$); обязательно встречается с третьей стороной ($\overline{FF^{\prime\prime}}$) в его середине, которая также должна быть серединой$\overline{AB}$.$\square$

Для решения исходной задачи достаточно встроить приведенный выше треугольник в эллипс:

В приведенном выше фокусы эллипса$C$и$F^{\prime\prime}$, и$\overline{AB}$является хордой через последнюю. Фундаментальная природа эллипсов подразумевает, что$(\star)$держит; поэтому,$\overline{CF^{\prime\prime}}$является биссектрисой периметра$\triangle ABC$. Кроме того, свойство отражения эллипсов подразумевает, что нормали в$A$и$B$делит углы пополам$\angle CAF^{\prime\prime}$и$\angle CBF^{\prime\prime}$; следовательно, пересечение этих нормалей является центром вписанной$\triangle ABC$. Результат следует из Следствия .$\square$

В отличие от того, что я дал в этом , это «чисто геометрическое решение».

Цифра в значительной степени говорит сама за себя, но я все же расшифрую ее:

1. $P$и$Q$являются точками на эллипсе.
2. $PR$и$QR$являются касательными в этих точках.
3. $PC$и$QC$являются нормалями в этих точках.
4. Линия$AB$является директрисой.
5. $F_1$является фокусом.
6. $CD$проводится параллельно большой оси.

Углы одного цвета равны (извините прямые углы из этого правила), но для тех, кто дальтоник или иным образом не способен различать цвета, я расшифрую, какие углы равны (вы можете понять, почему):

1. $\angle PRA=\angle PCD=\alpha$
2. $\angle QRB=\angle QCD=\beta$
3. $\angle CPD=\angle PRF_1=\theta$
4. $\angle CQD=\angle QRF_1=\gamma$

Так как это эллипс,$\dfrac{PF_1}{PA}=\dfrac{QF_1}{QB}=e\tag{i}$

Используя базовую тригонометрию, мы можем написать$PF_1=PR\sin\theta$,$\,PA=PR\sin\alpha$,$\,QF_1=QR\sin\gamma$и$QB=QR\sin\beta$. Теперь подставив их в (i):

Применение правила синусов в$\Delta CQD$:$\dfrac{CD}{QD}=\dfrac{\sin\gamma}{\sin\beta}\tag{iii}$

Применение правила синусов в$\Delta CPD$:$\dfrac{CD}{PD}=\dfrac{\sin\theta}{\sin\alpha}\tag{iv}$

Разделив (iii) и (iv), отношение$PD:QD=\dfrac{\sin\gamma\sin\alpha}{\sin\beta\sin\theta}$

Что теперь говорит вам утверждение (ii) об этом соотношении?

Ссылаясь на набросок G-man,$\epsilon = eccentricity, RQB = \phi , F_1QR =\psi, then \frac {\cos\psi }{\cos\phi} = \epsilon$

Доказательство очень близко отсюда.