Гомоморфный образ знакопеременной группы

Решаю следующую задачу:

Если$f:S_n\rightarrow S_n$является групповым гомоморфизмом, докажите, что$f(A_n)\subseteq A_n.$(Здесь,$S_n$является симметрической группой степени$n$, и$A_n$является знакопеременной группой степени$n.$)

Для$n=2,$это тривиально. Позволять$n\geq3.$Сначала покажем, что для любого$3$-цикл$(abc)\in S_n,$его образ$f((abc))$даже . _ Предположим, наоборот, что$f((abc))$странно . _ С$(abc)^3=(1),$ $f((abc))^3=f((abc)^3)=f((1))=(1)$. (Обратите внимание, что$f$является гомоморфизмом). Таким образом,$f((abc))^3=(1).$Однако,$(1)$является$even$и так как мы предполагали, что$f((abc))$странно , _$f((abc))^3$странно . _ Это противоречие! Таким образом$f((abc))$даже . _ Как каждый элемент$\sigma$из$A_n$(то есть все четные перестановки) является произведением$3$-циклы ( ссылка ), мы можем написать$\sigma = (a_1b_1c_1)\cdots(a_nb_nc_n).$Затем,$f(\sigma)=f((a_1b_1c_1)\cdots(a_nb_nc_n))=f((a_1b_1c_1))\cdots f((a_nb_nc_n)).$Как каждый$f((a_1b_1c_1)),\dots,f((a_nb_nc_n))$даже , _$f(\sigma)$также даже . Следует, что$f(A_n)\subseteq A_n$!

Верен ли мой аргумент?