Наличие нейтрального элемента

Другой подход

Если$e$является нейтральным элементом, то обязательно

или

Так

Нам просто нужно это проверить$e =1$удовлетворяет

Как вы написали, мы ищем$e$такой, что$x*e = x$ для всех $x \in \Bbb R$.

Вам не нужно находить$e$с точки зрения$x$. Вам нужно одно реальное число$e$который работает для всех значений$x$.

Поскольку значение, которое вы ищете, должно работать с каждым$x$, вы должны искать значение$x$что упрощает нахождение таких$e$.

Посмотрите, что произойдет, если мы выберем$x=1$. Затем$e$должен удовлетворить$1*e=1$. То есть$1\cdot e+(1^2-1)(e^2-1)=1$что сводится к$e=1$. Как только вы обнаружите, что$e=1$работает на$x=1$, просто убедитесь, что$e=1$работает для всех$x$:

$x*1 = x\cdot 1 + (x^2-1)(1^2-1) = x$

Может быть только один нейтральный элемент. А из ваших расчетов следует, что$e=1$будет работать.