Гравитация на планете в форме пончика/Мебиуса

Гравитационное поле от кольца масс

...сила на единицу массы при$P$из двух масс$M$является

$$F=-\frac{2GMx}{(x^2+a^2)^{3/2}}$$

Теперь, пока мы смотрим только на$x$-ось, эта идентичная формула работает для кольца массы$2M$в$y$,$z$самолет! Это всего лишь трехмерная версия приведенного выше аргумента, и ее можно визуализировать, вращая двухмассовую диаграмму выше вокруг оси.$x$-оси, чтобы получить кольцо перпендикулярно бумаге, или представив кольцо состоящим из множества бусин, и взяв бусины парами напротив друг друга. Итог : поле от кольца полной массы$M$, радиус$a$, в точку$P$по оси кольца расстояние$x$от центра кольца

$$F=-\frac{GMx}{(x^2+a^2)^{3/2}}$$

Гравитация тора

Иногда люди думают, что, возможно, по соображениям симметрии объект внутри кольца материи будет притягиваться к центру, но это не так — по крайней мере, не для объектов в плоскости кольца. Чтобы понять почему, рассмотрим очень тонкое кольцо массы, рассматриваемое как окружность радиуса$R$в плоскости, а частица внутри этого кольца на расстоянии$r$от центра. Постройте произвольную линию, проходящую через эту частицу, ударяющую по кольцу в двух противоположных направлениях на расстояниях$L_1$а также$L_2$. Если мы повернем эту линию вокруг частицы на увеличивающийся угол$\mathrm{d}q$, он будет выметать участки кольца, пропорциональные$L_1\cos(a)\mathrm{d}q$а также$L_2\cos(a)\mathrm{d}q$, куда$a$это угол, который хорда составляет с нормалями к окружности в точках пересечения. Суммарная гравитационная сила, действующая на эти две противоположные части кольца, пропорциональна массам этих малых секций, деленным на квадраты расстояний, т. е. сила пропорциональна$\mathrm{d}q \cos(a) (\frac{1}{L_1} - \frac{1}{L_2}$) в направлении г.$L_1$точка пересечения. Следовательно, результирующая сила направлена ​​к ближайшей точке кольца, прямо от центра.

Гравитационное поле твердых тел

Забавное дополнительное чтение: Ringworld :)

Я делаю это из головы, так что, надеюсь, это правильно, но, пожалуйста, перепроверьте.

1. Когда вы достаточно далеко от объекта, законы сводятся к классическому решению для точечной массы, F = GMmr^-2.

2. Кроме того, когда вы находитесь в плоскости отверстия тора, вклады направлений «вверх» и «вниз» уравновешиваются. Тор можно рассматривать как диск с дыркой. В этом сценарии гравитация будет зависеть только от количества массы диска, определяемого радиусом от наблюдателя до центра тора. Он будет линейно уменьшаться (я думаю) от значения на внешней границе (которое должно быть аналогично значению, определенному в точке 1, и нулевому значению на внутренней границе).

3. Внутри тора на плоскости отверстия сила тяжести должна быть равна нулю.

4. В других точках вам действительно нужно интегрироваться.

На торе:
Идя к внутренней стороне тора, человек становится легче, потому что у него есть гравитационное притяжение под ногами (которое сильнее, потому что оно ближе) и гравитационное притяжение над головой, делающее вас легче. Внешняя сторона тора — это та сторона, где люди тяжелее.

На ленте Мёбиуса:
гравитационное притяжение меняется, как и в случае тора, человек становится легче, а затем снова тяжелеет, совершая кругосветное путешествие. Переход от одной стороны к «другой» стороне [в скобках, потому что это та же самая сторона] через толщину полосы - при условии, что это доступно, иначе нужно лететь на «другую» сторону - ситуация обратная.

Как отмечает Скливвз :
«В центре тора или ленты Мёбиуса вся гравитация отменяется.
На большом расстоянии формой объекта можно пренебречь, его можно рассматривать как точечную массу.