Какова гравитационная энергия связи планет-гигантов?

Гравитационная потенциальная энергия политропной газовой сферы (т. е. управляемая политропным уравнением состояния) с индексом политропы$n$дан кем-то

$$\Omega = -\frac{3}{5-n}\ \frac{GM^2}{R}$$ См., например, здесь .

Сфера постоянной плотности должна быть несжимаемой. Так как политропа имеет давление$p \propto \rho^{1 +1/n}$, это соответствует$n=0$и дает вам результат для однородной сферы.

Более высокие значения$n$имеют более центрально-конденсированные профили и большие энергии связи.

Соответствующее значение индекса политропы для коричневых карликов и газовых гигантов, где перенос энергии является конвективным или где газ (нерелятивистски) вырожден, равен$n=3/2$. В этом случае ваш опережающий коэффициент увеличивается с 3/5 до 6/7. т.е. ничего страшного для приблизительного расчета.

Это ответ на вопрос, который я поднял в комментариях.

Для начала хочу отметить, что приведенная формула для гравитационной энергии связи сферически-симметричного тела не совсем верна. Вы можете видеть в статье вики , что фактор$3$в знаменателе исходит из предположения о равномерном распределении массы. Просто чтобы это было записано, вот правильный вывод.

Чтобы отправить слой массы с поверхности сферы — ее оболочки — в бесконечность, требуется$dU$энергия:

$$dU(r)=\frac{GM_{\text{inside}}(r)\,m_{\text{shell}}(r)}{r}=\frac{GM_{\text{inside}}(r)}{r}(4\pi r^2 \rho(r)\,dr)$$

Масса внутри этой оболочки

$$M_{\text{inside}}(r)=\int_0^r\rho(r') \,(4\pi r'^2\, dr')$$

Для получения полной энергии связи отправляем все оболочки на бесконечность, т.е. интегрируем от ядра ($r=0$) до внешнего радиуса ($r=R$):

$$U_{\text{binding}}=\int dU = 16\pi^2 G \int_0^R dr_1 \rho(r_1) r_1 \int_0^{r_1} dr_2\, \rho(r_2) r_2^2$$

Может быть, с помощью какого-нибудь трюка вы могли бы свести этот двойной интеграл к одному интегралу, но я не могу придумать, как это сделать, навскидку.

---

Если мы предположим, что распределение идет, скажем, как$\rho(r)=\rho_0 e^{-\alpha r}$, где$\rho_0$фиксируется условием, что полная масса$M$, можно провести длительные вычисления и найти энергию связи как функцию параметра$\alpha$. Параметр$R=M=G=1$, мои расчеты дали мне:

$$U_{\text{binding}}(\alpha)=\frac{\alpha}{4}\frac{\frac{5}{8}-2e^{-\alpha}(\alpha+1)+\frac{1}{8}(2\alpha(\alpha(2\alpha+7)+11)+11)e^{-2\alpha}}{\left(1-(1+\alpha+\frac{1}{2}\alpha^2)e^{-\alpha}\right)^2}$$

Вот сюжет (любезно предоставленный wolframalpha):

Во-первых, в качестве проверки работоспособности обратите внимание, что в$\alpha=0$мы восстанавливаем ответ с равномерной плотностью,

$$U_{\text{binding}}(\alpha=0)=\frac{3 M^2 G}{5R}$$

Этот график говорит нам, что если у нас есть распределение массы, которое распадается как$e^{-4r}$, энергия связи изменится на$\approx (0.8-0.6)/0.6\times 100\%=33\%$. Я специально только что выбрал$\alpha=4$потому что это дает приблизительную плотность массы Юпитера в предоставленной вами ссылке (игнорируя часть газообразного водорода, включение которой только сделало бы разницу более глубокой).

Однако для каменистой планеты, такой как Земля , плотность у поверхности примерно равна фактору$3/13\approx e^{-1.5}$меньше плотности в ядре, то$U_{\text{binding}}(\alpha=1.5)=0.649$, что только$8\%$отличается от приближения однородной плотности.

---

Вывод: Точное распределение массы газового гиганта имеет значение, потому что расчетная энергия связи полуреалистического распределения планеты (экспоненциальный распад) отличается от сверхнаивного распределения (равномерного) чуть более чем на$33\%$. Однако для каменистой планеты, распределение которой сужается гораздо медленнее, полуреалистичное распределение лишь меняет наивный ответ о$8\%$.

Итак, аппроксимировать Землю сферой с одинаковой плотностью массы не так уж и плохо, если только вы не хотите, чтобы ответ был лучше, чем$8\%$.

---

Следующий шаг: Возможным следующим шагом было бы кусочное распределение, используя разные распределения для каждого «слоя». Я не думаю, что это слишком сильно изменит ответ, но это возможное направление.