Сравнив мой вопрос с Дайте описание Loop Quantum Gravity ваша бабушка могла бы понять что я ищу вот игрушку для малыша( аспирант pre-QFT).
Я пытаюсь обобщить на гравитацию следующую минималистическую модель магнетизма (которая является хрестоматийным примером явлений осцилляции Ааронова-Бома и постоянных токов).
Возьмем гильбертово пространство с тремя состояниями и гамильтоновой матрицей с . Интерпретируя эти состояния как места локализации, скажем, электрона в мезоскопическом кольце, можно задаться вопросом, как учесть магнитное поле, пронизывающее кольцо. Ответ дает калибровочно-инвариантная фаза что является фазой Ааронова-Бома для замкнутой траектории (1-2-3) по кольцу; равен магнитному потоку через кольцо, выраженному в единицах . Если , то состояние с наименьшей энергией несет постоянный ток, и эта модель служит хорошей отправной точкой для обсуждения этой части мезоскопической физики.
Думаю, было бы здорово иметь такой игрушечный пример для гравитации (классической и квантовой). Вероятно, это можно найти в педагогической книге, поэтому, пожалуйста, дайте ссылку, если вы ее знаете.
Более конкретно, мой вопрос будет следующим:
Каково минимальное количество точек для определения значимого конечно-разностного аналога действия Гильберта-Эйнштейна и как это сделать? Можно ли продемонстрировать основные идеи квантования LQG на такой модели с конечным числом состояний?
Я ищу простой, возможно, меньше, чем -мерный пример, чтобы продемонстрировать возможность устранения гравитации с помощью локальных, но не глобальных преобразований Лоренца, точно так же, как приведенная выше игрушечная модель демонстрирует связь между локальным и глобальным симметрия.
Хорошим примером гравитации в этом направлении является релятивистская космическая струна или эквивалентная точечная частица в измерениях 2+1. Точное решение ОТО в присутствии космической струны — это дефицит угла — это означает, что пространство-время плоское, за исключением вырезанного из него клина и двух идентифицированных сторон. Это можно найти, решив 2+1 уравнения Эйнштейна, но проще просто заметить, что в трех измерениях тензор Римана определяется тензором Риччи (у него такое же количество независимых компонент, шесть), поэтому везде, где Тензор Риччи равен нулю, пространство-время плоское.
Теперь вы можете спросить, в какой фазе частица движется по космической струне. Если частица движется по струне двумя путями, с импульсом, перпендикулярным оси струны, и интерферирует сама с собой, вы получаете дополнительную относительную фазу, равную импульсу, умноженному на прицельный параметр (расстояние до струны), умноженному на угол отсечки, т. е. массовая плотность струны. Это дает фазу, подобную Ааронову-Бому, равную массе 2+1, содержащейся внутри интерференционной области. Если вы накладываете струны, вы суммируете угол дефицита, а угол дефицита определяется фазой, не зависящей от положения частицы внутри петли (во многом подобно магнитному потоку).
Думаю, это лучший аналог Ахаранова Бома в гравитации. Лучшей ссылкой является статья т'Хофта о гравитации 2+1, которая является одной из этих статей (я читал ее в сборнике репринтов под названием «Под чарами калибровочного принципа», и я не помню названия, но третья статья, указанная ниже, доступна в Интернете, и я имею в виду отношения внутри)
На этом основана более поздняя работа над квантовой версией т'Хоофта, Виттена и многих других. Сейчас это очень активная тема в математической физике из-за пересечения с топологической теорией поля, квантовыми группами и узлами.
Славикс
Рон Маймон