Гравитация как калибровочная теория

Теорию обычно называют «калибровочной теорией», если все взаимодействия в этой теории вводятся путем превращения глобальных симметрий в калибровочные. Обратите внимание, что калибровочная теория — это калибровочно-инвариантная теория, но калибровочно-инвариантная теория не обязательно должна быть калибровочной теорией (например, Стандартная модель калибровочно-инвариантна, но не является калибровочной теорией, поскольку скалярное самовзаимодействие не t увеличить калибровочную симметрию модели). Теория Янга-Миллса является примером калибровочной теории, но не все калибровочные теории относятся к типу Янга-Миллса. Общая теория относительности является калибровочной теорией в трех различных смыслах, а именно:

1. Инвариантность относительно диффеоморфимов . Диффеморфизм можно рассматривать как локальную (калиброванную) версию переводов.$\delta x^{\mu}\rightarrow a^{\mu}(x)$. Для того, чтобы теория была разн. инвариант, ковариантная производная$\nabla$должны заменить частные производные$\partial$(общая динамическая метрика$g$тензор должен заменить метрику Минковского$\eta$также). Здесь наиболее близким полем к связи Янга-Миллса является связь Леви-Чивиты.$\Gamma$(обратите внимание, что в формулировке Палатини это поле не зависит от метрики), которое преобразуется как тензор плюс член, включающий производную от$a(x)$, аналогично преобразованию неабелева поля.

2. Инвариантность относительно бесконечно малого diff . Можно разделить$g$на фиксированном фоне и динамическом возмущении$h$, и действие бесконечно малого диф. на возмущение оказывается$\delta h_{\mu\nu}=\partial_{\mu}a_{\nu}+\partial_{\nu}a_{\mu}$, что также является калибровочной симметрией. Это калибровочная симметрия, связанная с безмассовостью гравитонов (как и$SU_c(3)$связано с безмассовостью глюонов и$U_{em}(1)$массам фотонов). Здесь поле, наиболее похожее на связь Янга-Миллса, это$h$, который преобразуется аналогично электромагнитному потенциалу, хотя$h$не является связью в каком-либо известном мне смысле.

3. Инвариантность относительно локальных преобразований Лоренца. Оказывается, для связи спиноров с гравитационным полем удобно ввести тетрадную формулировку. В этом подходе существует калибровочная симметрия, связанная со свободой выбора разного базиса в разных точках пространства-времени. Нужно ввести ковариантную производную (отличную от первой в этом ответе), которая позволяет нам изменить базис. Эта формулировка наиболее близка к теории Янга-Миллса (а переменные Аштекара, вероятно, еще ближе). Основное отличие состоит в том, что в ОТО, кроме динамической связи (эквивалентной калибровочному полю Янга-Миллса), имеется тетрадное поле (в силу того, что метрика является динамическим полем в гравитации), не имеющее аналог в Yang-Mills. Здесь наиболее близким к Янгу-Миллсу полем является упомянутая выше спиновая связь,

Гравитация не является теорией Янга-Миллса в узком смысле — ну, за исключением таких эквивалентностей, как AdS/CFT или матричная теория, которые подразумевают, что квантовая теория гравитации полностью эквивалентна калибровочной теории, живущей в другом пространстве (например, в AdS/CFT). CFT, на границе пространства AdS).

Однако гравитация является калибровочной теорией в более широком смысле, поскольку ее удобно формулировать с использованием группы симметрии диффеоморфизмов. Диффеоморфизмы идентифицируют физические конфигурации, которые физически эквивалентны, как и в случае Янга-Миллса, поэтому, хотя они не относятся к типу Янга-Миллса, с ними нужно обращаться так же, как с симметриями Янга-Миллса в теориях Янга-Миллса.

Гравитацию можно рассматривать как калибровочную теорию группы Лоренца (действующей в касательном пространстве). На это указывали Киббл и Шиама в 50-х и 60-х годах.

Как сказал Джон ранее, это лучше рассматривать с точки зрения дифференциальных форм.

Еще одна ссылка, которая может показаться вам интересной, — это конспекты лекций Хорхе Занелли о гравитации Черна-Саймонса (доступны в arXiv).