Использование метрики для повышения дифференциального оператора

Данный л "=" − я р × ∇ мы можем выразить это в полярных координатах как

л "=" я е θ 1 грех ⁡ θ ∂ ∂ ф − я е ф ∂ ∂ θ .
Если следует, что
(1) л 2 "=" − 1 грех ⁡ θ ∂ ∂ θ ( грех ⁡ θ ∂ ∂ θ ) − 1 грех 2 ⁡ θ ∂ 2 ∂ ф 2
где нужно быть осторожным при взятии производных по самим базисным векторам.

В качестве альтернативы, в индексной нотации я могу выразить л как 3 вектор л я в сферическом пространстве, определяемом метрикой г я Дж . Когда я затем иду за внутренним продуктом, я получаю

(2) л 2 "=" л я л я "=" г я Дж л я л Дж "=" 1 р 2 л 2 л 2 + 1 р 2 грех 2 ⁡ θ л 3 л 3 .

Ясно, что (2) не согласуется с (1). Как обращаться с метрикой при работе с операторами и как можно прийти к (2), используя метрику в индексной нотации?

Связанный: размещение метрики в полярных координатах теперь имеет значение л я ( г я Дж л Дж ) ≠ г я Дж л я л Дж .

Ответы (1)

Во-первых, «сопутствующий» вопрос: в данном случае это имеет значение, потому что, вообще говоря, г я Дж "=" г я Дж ( Икс я ) и потому что л я являются дифференциальными операторами, это действительно разные действия л г л или г л л (схематично).

Теперь я попытаюсь решить аналогичную задачу и оставлю ту, над которой вы работаете, в качестве упражнения. Рассмотрим оператор Лапласа в сферических координатах. Как мы можем добраться до него через индексную нотацию? Помните, что лапласиан — это не что иное, как расходимость градиента. Таким образом, для общей ортогональной системы координат

∇ 2 ≡ 1 г ∂ ∂ Икс я ( г г я я ∂ ∂ Икс я )   .

Приведенное выше уравнение следует из того факта, что градиент можно записать как ∇ я "=" г я Дж ∂ ∂ Икс Дж "=" 1 г я я ∂ ∂ Икс я и (ковариантный) расходимость вектора Ф → можно записать как ∇ я Ф я "=" 1 г ∂ ∂ Икс я ( г Ф я ) . Затем выберите Ф → быть градиентом и вуаля.

Для частного случая сферической симметрии имеем г я Дж "=" диаг ( 1 , р 2 , р 2 грех 2 ⁡ θ ) и Икс я "=" ( р , θ , ф ) . г обозначает определитель г я Дж что в данном случае р 4 грех 2 ⁡ θ . Тогда у нас есть

∇ 2 "=" 1 р 2 грех ⁡ θ [ ∂ ∂ р ( р 2 грех ⁡ θ ∂ ∂ р ) + ∂ ∂ θ ( р 2 грех ⁡ θ р 2 ∂ ∂ θ ) + ∂ ∂ ф ( р 2 грех ⁡ θ р 2 грех 2 ⁡ θ ∂ ∂ ф ) ] "=" 1 р 2 ∂ ∂ р ( р 2 ∂ ∂ р ) + 1 р 2 грех ⁡ θ ∂ ∂ θ ( грех ⁡ θ ∂ ∂ θ ) + 1 р 2 грех 2 ⁡ θ ∂ 2 ∂ ф 2   .

Не должно быть слишком сложно продолжить расчет, который вы хотите сейчас.

Спасибо за этот пример. Можете ли вы объяснить, как ковариантная производная в полярных координатах действует на скалярную функцию ∇ я ф должен вести себя? Наивно хочу сказать ∇ я ф "=" ∂ ∂ Икс я ф - это неправильно, но я не вижу пробела в логике. Я могу получить правильную форму градиента, если сделаю преобразование координат из декартовых в полярные, но я не думаю, что это должен быть необходимый шаг.
В декартовой системе координат, ∇ я ф "=" ∂ ∂ Икс я ф . В другой системе координат мы должны включить якобиан преобразования ∇ ~ я ф "=" ∂ Икс ~ Дж ∂ Икс я ∂ ~ Дж ф (тильды обозначают, например, полярные координаты). Я не вижу способа обойти это в данный момент.
Использование метрики для повышения дифференциального оператора
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v