Путаница в полярных координатах Эйнштейна

Question

Путаница в полярных координатах Эйнштейна

Майкл Анджело

У меня проблемы с использованием нотации Эйнштейна в полярных координатах в плоском пространстве, я должен упустить что-то основное.

Рассмотрим следующий пример. Возьмите следующую метрику в пространстве-времени 2+1; $ds^2 = -dt^2+dr^2+r^2d\theta^2$ . Задайте четырехвекторное поле $A^\mu = (0,0,f(r ))$ и скалярное поле $\phi=g(\theta)$ .

Градиент в полярных координатах равен $\nabla \equiv \vec{r}\partial_r+\vec{\phi}\frac{1}{r}\partial_{\phi}$ .

Есть два способа расчета $A^\mu\partial_\mu\phi$ которые дают мне разные результаты:

А^{мю} \partial_{мю} ф "=" А^{я} \partial_{я} ф "=" \vec{А} \cdot \nabla ф "=" ф г^{'} (θ) / р

$A^\mu \partial_\mu \phi = A^i \partial_i \phi = \vec{A}\cdot \nabla \phi = fg'(\theta)/r$ или

А^{мю} \partial_{мю} ф "=" А^{я} \partial_{я} ф "=" А^{θ} \partial_{θ} ф "=" ф г^{'} (θ)

$A^\mu \partial_\mu \phi = A^i \partial_i \phi = A^\theta\partial_\theta \phi=fg'(\theta)$

И я получаю разные $r$ -зависимость... (которую вы получаете от градиента). Я знаю, что первый ответ правильный, так что я делаю неправильно в обозначении компонентов?

Изменить. Первый неверен. Это работает только в ортонормированном базисе.

Кнчжоу

Как узнать, что первый ответ правильный?

Майкл Анджело

@knzhou хех, потому что, если я использую последнее, все мои уравнения становятся очень уродливыми. Доказательство эстетикой :-).

Кнчжоу

Я предполагаю, что происходит то, что вы получили определение

A

$A$ неправильно, на самом деле

A_{μ}

$A_\mu$ Вы дали компоненты. Итак, вы хотите вычислить

A_{μ} \partial^{μ} ϕ

$A_\mu \partial^\mu \phi$ и забрать

1 / r

$1/r$ путем повышения индекса частной производной.

Майкл Анджело

@knzhou Я думал об этом, но если тебе дали вектор

\vec{A}

$\vec{A}$ , вы помещаете его в свой 4-вектор

A^{μ}

$A^\mu$ потому что вы хотите, чтобы векторы преобразовывались как координаты, верно?

Кнчжоу

Я понятия не имею, что это значит. Если вам дан 3-вектор, это означает только то, что он преобразуется как 3-вектор при вращении. Это может быть пространственная часть 4-вектора, но она также может быть пространственной частью одной формы (классическим примером является

\vec{A}

$\vec{A}$ сама по себе), а также может быть частью антисимметричной двумерной формы (одним из примеров является

\vec{B}

$\vec{B}$ ), и так далее.

Майкл Анджело

@knzhou Хорошо, если я скажу тебе использовать анзац

A_{0} = 0

$A_0=0$ , \vec{A} = \nabla f$, как выглядит ваш четырехвектор? Вы хотите сказать, что это двусмысленно?

Кнчжоу

Это однозначно. В стандартной записи это означает

A

$A$ естественно, это одна форма, противоположная тому, что вы использовали. Можно было бы поднять его до вектора, но тогда его компоненты были бы сложнее.

Майкл Анджело

Продолжим обсуждение в чате .

Ответы (1)

Путаница в полярных координатах Эйнштейна

Как узнать, что первый ответ правильный?
@knzhou хех, потому что, если я использую последнее, все мои уравнения становятся очень уродливыми. Доказательство эстетикой :-).
Я предполагаю, что происходит то, что вы получили определение $A$ неправильно, на самом деле $A_\mu$ Вы дали компоненты. Итак, вы хотите вычислить $A_\mu \partial^\mu \phi$ и забрать $1/r$ путем повышения индекса частной производной.
@knzhou Я думал об этом, но если тебе дали вектор $\vec{A}$ , вы помещаете его в свой 4-вектор $A^\mu$ потому что вы хотите, чтобы векторы преобразовывались как координаты, верно?
Я понятия не имею, что это значит. Если вам дан 3-вектор, это означает только то, что он преобразуется как 3-вектор при вращении. Это может быть пространственная часть 4-вектора, но она также может быть пространственной частью одной формы (классическим примером является $\vec{A}$ сама по себе), а также может быть частью антисимметричной двумерной формы (одним из примеров является $\vec{B}$ ), и так далее.
@knzhou Хорошо, если я скажу тебе использовать анзац $A_0=0$ , \vec{A} = \nabla f$, как выглядит ваш четырехвектор? Вы хотите сказать, что это двусмысленно?
Это однозначно. В стандартной записи это означает $A$ естественно, это одна форма, противоположная тому, что вы использовали. Можно было бы поднять его до вектора, но тогда его компоненты были бы сложнее.

пинколино · Answer 1

Метрика

г с^{2} "=" г р^{2} + р^{2} г θ^{2}

$ds^2=dr^2+r^2d\theta^2$

в единственном числе и поэтому не подходит. Итак, давайте вместо этого рассмотрим, что в пространстве Минковского

г с^{2} "=" - г т^{2} + г р^{2} + р^{2} г θ^{2},

$ds^2=-dt^2+dr^2+r^2d\theta^2 ,$

что не влияет на проблему, с которой вы столкнулись.

Для приведенной выше метрики $g_{\mu\nu}=(-1,1,r^2)$ , что влечет обратное $g^{\mu\nu}=(-1,1,1/r^2)$ .

Теперь для сокращения заметим, что

А^{мю} Б_{мю} "=" г^{мю ν} А_{мю} Б_{ν} "=" г_{мю ν} А^{мю} Б^{ν} .

$A^\mu B_\mu=g^{\mu\nu}A_\mu B_\nu=g_{\mu\nu}A^\mu B^\nu .$

Рассмотрим случай,

А^{мю} "=" (0, 0, ф (р)),

$A^\mu =(0,0,f(r)) ,$

Б_{ν} "=" (\partial_{т} ф, \partial_{р} ф, \partial_{θ} ф),

$B_\nu=(\partial_t\phi,\partial_r\phi,\partial_\theta \phi) ,$

где

\partial_{мю} ф \equiv \frac{\partial ф}{\partial {Икс}^{мю}}

$\partial_\mu \phi\equiv \frac{\partial\phi}{\partial x^\mu}$ с

x^{μ} = (t, r, θ)

$x^\mu=(t,r,\theta)$ .

Собрав все части вместе, можно найти

А^{мю} Б_{мю} "=" г^{мю ν} А_{мю} Б_{ν} "=" г_{мю ν} А^{мю} Б^{ν} "=" ф (р) \partial_{θ} ф .

$A^\mu B_\mu=g^{\mu\nu}A_\mu B_\nu=g_{\mu\nu}A^\mu B^\nu=f(r)\partial_\theta\phi .$

Ключевым моментом является то, что количество $\nabla\phi$ вы написали выше, это что-то другое. Это не конвариант и не контравариантный тензор, точнее, в этом нет ничего плохого. $\nabla\phi$ являющийся вектором, который не зависит от координат, а также от базиса, но его компоненты в его форме, указанной выше, а именно,

\nabla ф "=" \hat{р} \frac{\partial ф}{\partial р} + \hat{θ} \frac{1}{р} \frac{\partial ф}{\partial θ} \to \nabla ф \overset{?}{"="} (\partial_{р} ф, \frac{1}{р} \partial_{θ} ф),

$\nabla \phi=\hat{r}\frac{\partial\phi}{\partial r}+\hat{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\to \nabla\phi\stackrel{?}{=}(\partial_r\phi,\frac{1}{r}\partial_\theta\phi),$ не являются ковариантными или контравариантными тензорами. В результате осуществляемое впоследствии «сжатие» по этим компонентам тензора не имеет смысла.

Это связано с тем, что его основания являются единичными векторами в соответствии с соглашением, в котором он введен (в исчислении). Эти базисные векторы ( $\hat{r},\hat{\theta}$ ) унитарны и ортонормированы, но некоординатны ! Чтобы все манипуляции с тензорами имели смысл, нужно работать с базами координат, и обычно последние не являются единичными векторами. См., например, обсуждение раздела 5.5 некоординатных базисов учебника Первый курс общей теории относительности Шютца.

Это действительно сбивает с толку, если кто-то не осознает разницу. Если приведенное выше объяснение вам непонятно, взгляните на учебник, упомянутый выше, и, может быть, с начала главы 5, где ковариантная производная вводится общим образом. На мой взгляд, учебник довольно хорошо написан в отношении этих основных понятий с минимальным количеством математики.

Метрика сингулярна в пространстве-времени 2+1, но подходит для чисто двумерного пространства. Но вопрос каким-то образом был поставлен в пространстве-времени Минковского, тогда как $\nabla \phi$ понимался только как пространственный градиент. Таким образом, еще больше увеличивается двусмысленность.

Путаница в полярных координатах Эйнштейна

Майкл Анджело

Кнчжоу

Майкл Анджело

Кнчжоу

Майкл Анджело

Кнчжоу

Майкл Анджело

Кнчжоу

Майкл Анджело

Ответы (1)

пинколино

игра

Почему не распространена инвариантная запись?

Зачем нам нужна метрика для определения градиента?

Интерпретация нормальных координат

Как получается метрический тензор сферических координат? [закрыто]

Почему абсолютный градиент метрического тензора ∇αgµν=0∇αgµν=0\nabla_{\alpha} g_{\mu \nu} = 0 в любой системе координат? [дубликат]

Нахождение дивергенции в сферических координатах с помощью метрического тензора

Путаница по поводу ковариантных и контравариантных векторов

Почему вы должны включать якобиан для каждой системы координат, кроме декартовой?

Несоответствие с частными производными как базисными векторами?

Покажите, что два семейства кривых ортогональны (без использования ортогональных траекторий).