Нахождение дивергенции в сферических координатах с помощью метрического тензора

Мне нужно найти расхождение в сферических координатах, используя выражение

$$\nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial}{\partial u^{j}} (\sqrt{g} v^{j})$$ Я вычислил элементы диагонального метрического тензора: $g_{rr} = 1, g_{\theta \theta} = r^2, g_{\phi \phi} = r^2 \sin^2 \theta$. Все остальные элементы равны 0. Обратная матрица $g^{ij}$имеет компоненты: $g^{rr} = 1, g^{\theta \theta} = \frac{1}{r^2}, g^{\phi \phi} = \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}$. Квадратный корень из определителя, $\sqrt g = r^2 \sin \theta.$Следовательно, у нас есть $$v^{r} = g^{rr}v_{r} + g^{r \theta} v_{\theta} + g^{r \phi} v_{\phi} = v_{r}$$ $$v^{\theta} = g^{\theta r}v_{r} + g^{\theta \theta} v_{\theta} + g^{\theta \phi} v_{\phi} = \frac{1}{r^2}v_{\theta}$$ $$v^{\phi} = g^{\phi r}v_{r} + g^{\phi \theta} v_{\theta} + g^{\phi \phi} v_{\phi} = \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}v_{\phi}$$ Это приводит к расхождению $$\nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} (r^2 v_{r}) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin \theta v_{\theta}) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial v_{\phi}}{\partial \phi}$$

Я, вероятно, ошибся при преобразовании$v^{i}$с к$v_{j}$с. Правильно ли мое понижение индексов здесь? Не поэтому ли мое расхождение неверно?