Использование преобразования Фурье для определения тока в цепи с начальным условием

Question

Использование преобразования Фурье для определения тока в цепи с начальным условием

эмнха

Я пытаюсь решить ток индуктора для схемы ниже, используя преобразование Фурье вместо Лапласа. Цель состоит в том, чтобы увидеть, работает ли преобразование Фурье для задач с такими начальными условиями. Источником напряжения является источник постоянного напряжения.

По КВЛ: $\ -1 + L\frac{\mathrm{di} }{\mathrm{d} x} + R i = 0$

Преобразуйте приведенное выше уравнение Фурье:

$\ -2\pi \delta (\omega ) + j\omega L *I(\omega ) + R*I(\omega ) = 0$

Однако я нигде не вижу, чтобы здесь использовалось условие i(0). Как я могу включить начальное условие и решить текущее?

PS. Схема взята с этого сайта.

Чу

Является ли источник напряжения единичным шагом? Если да, то преобразование Фурье неверно. Также уравнение КВЛ имеет неправильный знак.

эмнха

@Chu: источник напряжения - это источник постоянного тока, да, это ошибка, я сейчас исправлю.

Тони Стюарт EE75

Спектр Фурье тока в напряжении на резисторе должен быть

\frac{V_{i n}}{R} - I (0) = Δ I

$\dfrac{V_{in}}{R}-I(0)=\Delta I$ с экспоненциальным затуханием непрерывного спектра, как у ФНЧ, начиная с

Δ V = Δ I * R

$\Delta V=\Delta I*R$ с точкой останова @ ω=L/R, затем ослаблением на 20 дБ/декаду. Начните с уравнения экспоненциального времени.

Ответы (1)

Использование преобразования Фурье для определения тока в цепи с начальным условием

Является ли источник напряжения единичным шагом? Если да, то преобразование Фурье неверно. Также уравнение КВЛ имеет неправильный знак.
@Chu: источник напряжения - это источник постоянного тока, да, это ошибка, я сейчас исправлю.
Спектр Фурье тока в напряжении на резисторе должен быть $\dfrac{V_{in}}{R}-I(0)=\Delta I$ с экспоненциальным затуханием непрерывного спектра, как у ФНЧ, начиная с $\Delta V=\Delta I*R$ с точкой останова @ ω=L/R, затем ослаблением на 20 дБ/декаду. Начните с уравнения экспоненциального времени.

Роберт Бристоу-Джонсон · Answer 1

Прежде всего, преобразование Лапласа и преобразование Фурье происходят из одного и того же водоема. Это вроде одно и то же, и если у вас есть общие условия использования любого из них, это одно и то же с $s=j\omega$ . одностороннее преобразование Лапласа лучше подходит для схемных задач, которые определены только для $t \ge 0$ и иметь начальные условия, потому что существует удобный механизм для работы с этими начальными условиями в $t=0$ односторонним преобразованием Лапласа.

Двустороннее преобразование Лапласа больше всего похоже на преобразование Фурье (которое всегда имеет двустороннее определение) с заменой $s=j\omega=j2\pi f$ .

Тем не менее, вышеуказанная проблема может быть решена с помощью преобразования Фурье только в том случае, если схема, которая полностью «расслаблена» (имеет все начальные условия, равные нулю) при $t=0$ , моделируется как управляемый единичным шагом в 1 вольт, а не постоянным входом в 1 вольт. Если вышеуказанная схема была все время подключена к 1 вольту, то начальный ток никак не может быть $i(0)$ может быть чем угодно, кроме $i(0) = \frac{1 \text{V}}{R}$ . Если $i(0)$ равен чему-либо, кроме этого, вы должны представить вход как ступенчатую функцию.

Затем другая проблема с преобразованием Фурье, которой на самом деле нет у Лапласа, заключается в том, что преобразование Фурье не сходится хорошо для единичного шага. Косвенным методом можно вывести FT единичного шага, но с помощью Лапласа это естественно. Таким образом, с FT вам нужно будет представить единичный шаг как предельный случай функции, которая имеет законный FT:

ты (т) "=" \underset{т \to + \infty}{лим} {\begin{cases} е^{- т / т} & если т \geq 0 \\ 0 & если т < 0 \end{cases}

$u(t) = \lim_{\tau \to +\infty} \begin{cases} e^{-t/\tau} \qquad & \text{ if } t \ge 0 \\ 0 & \text{ if } t < 0 \\ \end{cases}$

для конечного $\tau$ , у которого есть законный FT, и вы можете решить эту систему, используя FT для конечного $\tau$ , получить ответ, а потом пусть $\tau$ идти к $\infty$ .

Я думал добавить, что преобразования Лапласа гораздо проще работают с известными начальными условиями. Но вы сказали это, и, вероятно, лучше, чем я бы сказал. Хорошая вещь. +1.
Спасибо. У меня есть два вопроса, связанных с этим. 1. Вы сказали, что если у вас есть общие условия, используйте любой из них. Что понимается здесь под общими условиями? Это условие сходимости? 2. Тем не менее, вышеуказанная проблема может быть решена с помощью преобразования Фурье только в том случае, если схема, которая полностью «расслаблена» (имеет все начальные условия, равные нулю) в момент t = 0, моделируется как управляемая единичным шагом 1 вольт, а не постоянный вход 1 вольт. В чем причина того, что Фурье работает только при всех начальных условиях, равных нулю?
1. простой пример: $Икс (т) "=" {\begin{cases} е^{- т / т} & если т \geq 0 \\ 0 & если т < 0 \end{cases}$ $x(t) = \begin{cases} e^{-t/\tau} \qquad & \text{ if } t \ge 0 \\ 0 & \text{ if } t < 0 \\ \end{cases}$ имеет, с $s = \sigma + j \omega$ одно и то же одностороннее преобразование Лапласа и двустороннее преобразование Лапласа и одно и то же преобразование Фурье с $\sigma=0$ . ясно, что определения этих трех точно такие же, если а) аргумент $x(t)=0$ для всех $t<0$ и сходятся ли интегралы во всех трех случаях. (для единичного шага, где $x(t) = u(t)$ , интеграл Фурье не сходится без глупого махания руками.)
2. двустороннее преобразование Лапласа можно выразить двумя интегралами: $Икс (с) "=" \underset{ϵ \to 0}{лим} \int_{- \infty}^{- ϵ} Икс (т) е^{- с т} г т + \int_{- ϵ}^{\infty} Икс (т) е^{- с т} г т$ $X(s) = \lim_{\epsilon \to 0} \int\limits_{-\infty}^{-\epsilon} x(t) \, e^{-st} \, dt + \int\limits_{-\epsilon}^{\infty} x(t) \, e^{-st} \, dt$ как $\epsilon>0$ приближается к нулю, интеграл справа представляет собой просто одностороннее преобразование Лапласа, а интеграл слева охватывает всю деятельность $x(t)$ для $t<0$ . это левый член, который устанавливает начальные условия, и если этот член можно заменить эквивалентными значениями, то именно так односторонний Лаплас включает начальные условия.
и начальные условия не обязательно должны быть нулевыми, чтобы использовать FT, но вы должны правильно учитывать ненулевые начальные условия.
Предположим, что источник напряжения в приведенной выше простой схеме представляет собой единичную ступенчатую функцию, а начальное условие для тока равно $i(0)$ . По KVL: -u(t) + L*di/dt + Ri = 0, а затем выполните преобразование Фурье этого уравнения. (u(t) — функция единичного шага). Однако я не понимаю, как здесь учитывать начальное условие. Как включить начальное условие с помощью преобразования Фурье для решения этого дифференциального уравнения в этом конкретном случае?
чтобы начальный ток был $i(0) \ne 0$ , то приложенное напряжение от давно до $t=0$ должна быть константа $i(0)R$ . то, если входное напряжение внезапно изменится с $i(0)R$ к $1 \text{ V}$ вовремя $t=0$ , то входное напряжение равно $в (т) "=" я (0) р + (1 В - я (0) р) ты (т)$ $v(t) = i(0)R + (1\text{V} - i(0)R) u(t)$ где $u(t)$ является единичной ступенчатой функцией. но, поскольку это Фурье, а не Лаплас, вы должны представить свой единичный шаг как предел, как я показал выше в ответе.

Использование преобразования Фурье для определения тока в цепи с начальным условием

эмнха

Чу

эмнха

Тони Стюарт EE75

Ответы (1)

Роберт Бристоу-Джонсон

придурок

эмнха

Роберт Бристоу-Джонсон

Роберт Бристоу-Джонсон

Роберт Бристоу-Джонсон

эмнха

Роберт Бристоу-Джонсон

Как преобразование Фурье может справиться с переходными процессами?

Анализ цепи методом токов сетки для решения переменного тока в переходном и устойчивом состоянии для цепи RL

Анализ частотной области с транзисторами

Значение сигмы в преобразовании Лапласа

Вывод I_d полевого транзистора с автономным смещением

Проект Arduino (ультразвуковой датчик)

Почему gmbs не равно нулю, когда B и S связаны вместе?

Является ли мой дизайн оптимальным?

D Flip Flop Toggle -- Q в Hex Inverter в D, Нестабильный выход, Помощь

Как ток через резистор совпадает с током коллектора в этой цепи?