Значение сигмы в преобразовании Лапласа

Как известно большинству людей,$s=\sigma+j\omega$(где$j\omega$- частота вдоль оси x в графике Боде или спектральном анализе). Тем не менее, в сюжете Боде,$\sigma$не имеет очевидного значения, но на самом деле это «невидимая» ось z (на экране/странице и за ее пределами).

Если бы собственная резонансная частота RLC-контура составляла 1 радиан в секунду, то ось z представляла бы собой чисто дзета, коэффициент демпфирования. Это простой ответ. Более полные изображения (надеюсь) должны быть очевидны с этим изображением, показывающим примеры графиков Боде вверху и диаграмму нулевого полюса в 3D слева внизу: -

Как вы должны видеть, "ось Z" (или$\sigma$ось) имеет значения, соответствующие$\omega_n$(собственная резонансная частота$\frac{1}{\sqrt{LC}}$) и коэффициент демпфирования дзета ($\zeta$).

Предполагается, что s равно сигме + jw, а сигма возникает так, что интеграл преобразования сходится. Однако при построении диаграмм Боде это полностью игнорируется. Почему?

Надеюсь, теперь вы это видите.

Есть ли физический смысл сигмы?

По сути, это коэффициент демпфирования, умноженный на собственную резонансную частоту для значений дзета от 0 до 1.

Эффекты на графике Боде нулей и полюсов заключаются в изменении наклона с шагом 20 дБ (величина Боде), усиление на полюсах на самом деле не бесконечно, поскольку s заменяется на jw, и если полюса действительны, s является сложным никогда не будет иметь этих реальных значений, так что график Боде станет бесконечным. Что это значит?

Прирост на полюсах бесконечен, бесспорно. Остальная часть этого конкретного вопроса, вероятно, не имеет значения из-за этого заблуждения.

Можно найти область сходимости (ROC) для s, которая представляет собой диапазон значений s, так что интегралы сходятся. Чем полезен РПЦ? Что происходит, когда частота выходит за пределы ROC? Учебники довольно хорошо показывают, как найти эти ROC, но не объясняют, какое влияние они оказывают на вашу схему.

Я понятия не имею, что это значит и как на это ответить, извините.

передаточная функция 1/(s+1) имеет полюс при s = -1. Это означает, что сигма = -1, а омега равна нулю. Однако при построении графика Боде s устанавливается равным джомеге, то есть чисто мнимому числу. Так что передаточная функция при s = jomega вовсе не бесконечность. Если это не бесконечность, то каким значением это будет и почему нас интересует s = j * omega вместо s = -1 для приведенной выше функции?

Подумайте так — у вас есть стол, и на этом столе вы ставите карандаш вертикально посередине (это шест). Затем вы надеваете очень тонкий и гибкий носовой платок на конец карандаша. Контур платка создает эффект шатра, но более совершенный:

В любой точке от этого полюса платок имеет четко определенное числовое значение. Например, если вы нарисуете круг вокруг шеста, все точки на платке будут иметь одинаковую амплитуду. Если полюс находится в точке -1, тогда амплитуда при s = 0+j0 (начало координат) равна 1. Амплитуда в точке 0+j1 требует немного больше размышлений - расстояние от полюса до 0+j1 составляет 1,4142, поэтому амплитуда является обратной величиной 1,4142, т.е. 0,7071 (точка 3 дБ простого RC-фильтра, который описывает ваш числовой пример).

При 0+j2 расстояние от полюса равно$\sqrt{1^2+2^2}$= 2,236, и поэтому амплитуда равна 0,4472.

При 0+j10 (в десять раз больше частоты 3 дБ) расстояние равно$\sqrt{1^2+10^2}$= 10,05, а амплитуда 0,0995.

Это также можно распространить на сложные пары полюсов и нули. В любой точке оси jw (называемой X ниже) амплитуда равна: