Вывод I_d полевого транзистора с автономным смещением

Я считаю, что вывод формул гораздо полезнее для меня, чем просто повторение формул. Я смотрю на схему JFET с автосмещением, и мне интересно получить состояние покоя схемы в условиях постоянного тока. Если пренебречь всеми компонентами переменного тока в цепи, у меня есть очень большой резистор,$R_g$, между затвором и землей, и еще один резистор,$R_s$, от источника до земли. Дренаж подключен к$V_p$, мой блок питания.

^{смоделируйте эту схему - схема, созданная с помощью CircuitLab}

Я считаю, что это довольно стандартная схема JFET. Я понимаю, как анализировать схему. Меня интересует вывод$I_{d}$. Это дано мне как$I_{d}=I_{dss} \left(1 - \frac{V_{gs}}{|V_p|)} \right) ^2$. Ни один из учебников, стоящих у меня на полке, не подходит для вывода, равно как и мои поиски в Google. Самое близкое, что я получил, было из учебника, в котором говорилось, что JFET является компонентом квадратичного закона, и эта связь присуща компоненту. Я не покупаю это. Крутизна свойственна компоненту. Текущий поток - нет. Кто-нибудь может показать мне, как$I_{d}$является производным?

Изменить: извините, я просил неправильный параметр и дал неправильную формулу. Вопрос обновлен.

Редактировать: Некоторое обсуждение Альфреда Центавра указало мне правильное направление. Я проделал еще немного работы, которую я приведу здесь. Сейчас это в основном превратилось в математическую задачу.

По сути, я хочу вывести$I_d$на основе внутренних свойств компонентов. Транскондуктивность является свойством JFET, поэтому я начал с нее.

Знаю это$g_m = \frac{dI_d(V_{gs})}{dV_{gs}}=\frac{2I_{dss}}{|V_p|} \left(1-\frac{V_{gs}}{|V_p|} \right)$, я могу переставить и обработать некоторые вычисления следующим образом.

$$g_m = \frac{dI_d(V_{gs})}{dV_{gs}} \\ dI_d(V_{gs}) = g_mdV_{gs} \\ dI_d(V_{gs}) = \frac{2I_{dss}}{|V_p|} \left(1-\frac{V_{gs}}{|V_p|} \right) dV_{gs} \\ \int dI_d(V_{gs}) = \frac{2I_{dss}}{|V_p|} \int dV_{gs} - \frac{2I_{dss}}{|V_p|^2}\int V_{gs}dV_{gs} \\ I_d(V_{gs}) = \frac{2I_{dss}V_{gs}}{|V_p|} - \frac{I_{dss}V_{gs}^2}{|V_p|^2} + C$$

Мы можем найти$C$как мы знаем$I_d = I_{dss}$в$V_{gs} = 0$

$$I_d(0) = \frac{2I_{dss}(0)}{|V_p|} - \frac{I_{dss}(0)^2}{|V_p|^2} + C \\ I_{dss} = C$$

Поэтому:

$$I_d(V_{gs}) = \frac{2I_{dss}V_{gs}}{|V_p|} - \frac{I_{dss}V_{gs}^2}{|V_p|^2} + I_{dss} \\ I_d(V_{gs}) = I_{dss}\left(1 + \frac{2V_{gs}}{|V_p|} - \frac{V_{gs}^2}{|V_p|^2} \right) \\ $$

Это очень близко. Моя цель$I_{d}=I_{dss} \left(1 - \frac{V_{gs}}{|V_p|)} \right) ^2$. Думаете, я могу поменять знаки членов, подставив отрицательный множитель в свои знаменатели абсолютного значения?