Изменение импульса от спонтанного излучения

Чтобы достичь предела доплеровского охлаждения, лазер обычно настраивают на половину естественной ширины линии в красный цвет от частоты перехода. В этом разница между$k$и$\omega_0/c$пренебрежимо мало для большинства целей:$\frac{\omega_0-\omega}{\omega} \approx \frac{\textrm{a few MHz}}{\textrm{a few hundred THz}} \approx 1\times 10^{-8}$. Фут мог просто игнорировать различие между этими величинами в своем лечении.

Однако, даже при более тщательном рассмотрении, я полагаю, что импульс отдачи спонтанного излучения обычно будет ближе к$\hbar k$чем$\hbar \omega_0/c$. Закон сохранения энергии подразумевает, что изменение кинетической энергии атома определяется как энергия поглощенного фотона за вычетом энергии испущенного фотона. Вычисление изменения кинетической энергии по импульсу отдачи (т.е.$\Delta KE = \frac{(\hbar k)^2}{2 m}$) для охлаждающего перехода 780 нм в рубидии-87, например, дает изменение кинетической энергии$\approx 1.5 \times 10^{-11}\,\mathrm{eV}$на фотон . Это намного меньше, чем разница энергий между лазерными фотонами и атомным переходом при отстройке в несколько МГц.$\approx 1 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$, поэтому энергия/волновое число излучаемого фотона в лабораторной системе координат будет очень похожей на энергию/волновое число поглощенного фотона.

Этот результат согласуется с эмпирическим наблюдением, согласно которому обычно требуется по крайней мере несколько сотен рассеянных фотонов, чтобы снизить скорость атома от максимальной скорости «захвата» охлаждающего лазера до нуля.

Это проще, чем вы думаете. Рассмотрим изолированный атом, первоначально покоящийся, т.е. мы выбираем систему отсчета, в которой импульс атома равен нулю. Наш атом испускает фотон с импульсом$p$, поэтому для сохранения импульса атом должен отталкиваться с импульсом$-p$. Итак, чтобы найти импульс, сообщаемый атому, нам просто нужно найти импульс фотона.

Стандартным результатом является то, что импульс любой частицы определяется выражением:

где$\lambda$– длина волны де Бройля. Если это необходимо доказать, удобным способом сделать это является использование релятивистского выражения для энергии:

Для фотона энергия$E=h\nu = hc/\lambda$и масса равна нулю, и подставляя это, мы получаем:

из чего следует результат. Ваша книга дает это как$\hbar k$, но с тех пор$k=2\pi/\lambda$и конечно$\hbar=h/2\pi$это одно и то же выражение.