Изменяет ли энергия симметризация волновой функции?

Предположим, что два невзаимодействующих электрона находятся в независимом от времени потенциале, описываемом уравнением:

ЧАС ψ ( р 1 , р 2 ) "=" − ℏ 2 2 м ( ∇ 1 2 + ∇ 2 2 ) ψ ( р 1 , р 2 ) + В ( р 1 ) ψ + В ( р 2 ) ψ "=" Е
Мы можем разделить это уравнение, предположив ψ ( р 1 , р 2 ) "=" ψ 1 ( р 1 ) ψ 2 ( р 2 ) . В процессе решения получаем Е "=" Е 1 + Е 2 , так:

ЧАС ψ 1 ( р 1 ) ψ ( р 2 ) "=" ( Е 1 + Е 2 ) ψ 1 ( р 1 ) ψ ( р 2 ) "=" Е ψ 1 ( р 1 ) ψ ( р 2 )

Теперь, если я скажу, что полная волновая функция должна быть антисимметричной, я могу объединить оба решения:

ψ Т О Т А л "=" 1 2 [ ψ 1 ( р 1 ) ψ 2 ( р 1 ) − ψ 2 ( р 1 ) ψ 1 ( р 2 ) ]

Но теперь эта волновая функция не обязательно является собственным вектором ЧАС , значит, такая запись волновой функции меняет энергию полного состояния? Я знаю, что первый член полной волновой функции является собственным вектором ЧАС , а второй нет, так каковы возможные энергии для этой системы?

Ответы (1)

В вашем конкретном случае, когда вы рассматриваете разделимые волновые функции (в гамильтониане ваши частицы не взаимодействуют), я не понимаю, почему вы говорите, что форма ψ Т О Т А л "=" 1 2 [ ψ 1 ( р 1 ) ψ 2 ( р 1 ) − ψ 2 ( р 1 ) ψ 1 ( р 2 ) ] не обязательно решение.

Действительно, это просто линейная комбинация произведений Хартри одноэлектронных волновых функций. Вы были в порядке, принимая эти procuts по отдельности в качестве решения, так почему бы не использовать линейную комбинацию?

Плюс, если вы понимаете, что < ψ 1 ( р 1 ) ψ ( р 2 ) | ЧАС | ψ 1 ( р 1 ) ψ ( р 2 ) >= Е 1 + Е 2 "=" Е , вы можете очень легко проверить, что происходит с определителем Слейтера:

ЧАС | ψ 1 ( р 1 ) ψ 2 ( р 2 ) − ψ 2 ( р 1 ) ψ 1 ( р 2 ) >= ЧАС | ψ 1 ( р 1 ) ψ 2 ( р 2 ) > − ЧАС | ψ 2 ( р 1 ) ψ 1 ( р 2 ) >
"=" ( Е 1 + Е 2 ) | ψ 1 ( р 1 ) ψ 2 ( р 2 ) > − ( Е 1 + Е 2 ) | ψ 2 ( р 1 ) ψ 1 ( р 2 ) >= Е | ψ 1 ( р 1 ) ψ 2 ( р 2 ) − ψ 2 ( р 1 ) ψ 1 ( р 2 ) >

так что < ψ Т О Т А л | ЧАС | ψ Т О Т А л >= Е , давая вам ту же Энергию

РЕДАКТИРОВАТЬ: Чтобы увидеть, что обменный продукт дает одинаковую стоимость, учтите, что вы можете разделить свой гамильтониан на два: ЧАС "=" ЧАС 1 + ЧАС 2 где

ЧАС я "=" − ℏ 2 2 м ∇ я 2 + В ( р я )
каждый из этих гамильтонианов действует только на одну частицу, поэтому у вас есть:
ЧАС | ψ 1 ( р 1 ) ψ 2 ( р 2 ) >= ( ЧАС 1 | ψ 1 ( р 1 ) > ) ⊗ | ψ 2 ( р 2 ) > + ψ 1 ( р 1 ) > ⊗ ( ЧАС 2 | ψ 2 ( р 2 ) > )
с ЧАС 1 | ψ 1 ( р 1 ) >= Е 1 | ψ 1 ( р 1 ) > и ЧАС 2 | ψ 2 ( р 2 ) >= Е 2 | ψ 2 ( р 2 ) >

Теперь вы можете понять, что два гамильтониана одинаковы , только они действуют на разные частицы. Верно? Итак, если у вас есть ЧАС 1 | ψ 1 ( р 1 ) >= Е 1 | ψ 1 ( р 1 ) > , Вы должны иметь ЧАС 2 | ψ 1 ( р 2 ) >= Е 1 | ψ 1 ( р 2 ) > потому что H1 и H2 — это одни и те же гамильтонианы (действующие только на r1 или r2) и дают одно и то же собственное значение для одного и того же собственного вектора. Поэтому:

ЧАС | ψ 2 ( р 1 ) ψ 1 ( р 2 ) >= ( ЧАС 1 | ψ 2 ( р 1 ) > ) ⊗ | ψ 1 ( р 2 ) > + ψ 2 ( р 1 ) > ⊗ ( ЧАС 2 | ψ 1 ( р 2 ) > )
"=" Е 2 | ψ 2 ( р 1 ) > ⊗ | ψ 1 ( р 2 ) > + Е 1 ψ 2 ( р 1 ) > ⊗ | ψ 1 ( р 2 ) >= ( Е 1 + Е 2 ) | ψ 2 ( р 1 ) ψ 1 ( р 2 ) >

Я знаю, что это решение, мой вопрос был в том, было ли это решение с тем же собственным значением. Путаница в том, что я не понимаю, почему ЧАС ψ 2 ( р 1 ) ψ 1 ( р 2 ) "=" Е 2 + Е 1 . Если бы я только знал случай с измененными координатами.
Спросите себя, почему вы приняли в первую очередь то, что ψ 1 ( р 1 ) ψ 2 ( р 2 ) был собственным вектором H с собственным значением Е 1 + Е 2 . Тот же ход мыслей должен привести вас к тому, чтобы принять то же самое для обменной волновой функции, поскольку гамильтонин один и тот же для обеих частиц. Кстати, вы неправильно пишете отношение собственных значений; гамильтониан не сводит волновую функцию к действительному значению
Я предположил, что решил уравнение и обнаружил, что теперь, если вы решите для другого случая, почему вы получите то же самое?
В процессе разделения переменных, определяя две константы, в итоге получаем, что Е является суммой обоих.
отредактировано, чтобы ответить, разделив гамильтониан
Спасибо, вам просто нужно добавить это В 1 "=" В 2 .
Размышляя над вашим ответом, вот почему мы делаем симметризацию, мы делаем это для идентичных частиц, что означает равную массу и одинаковое V (r). Потому что, если бы это было не так, мы бы изменили энергию.
Изменяет ли энергия симметризация волновой функции?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v