Как доказать, что Гравитация происходит в одной плоскости?

Это справедливо только для системы с двумя телами. Во многих системах тел, таких как Солнечная система, планеты постоянно (незначительно) меняют плоскость своей орбиты из-за возмущений со стороны других тел.

В системе двух тел плоскость орбиты постоянна, потому что лагранжиан осесимметричен, а это означает, что угловой момент сохраняется. Это следствие теоремы Нётер . Поскольку угловой момент постоянен, плоскость орбиты не может измениться.

Я никогда не слышал о теореме Нётер и до сих пор не понимаю ее, но вот интуитивное объяснение...

Представьте, что векторы начальных скоростей двух тел лежат в одной плоскости. Вектор ускорения каждого тела будет указывать на другое тело и, следовательно, будет лежать в той же плоскости, что и векторы скорости.

Учитывая, что все векторы скоростей и ускорений находятся внутри плоскости, следовательно, будущие положения тел также должны быть внутри плоскости .

Однако если начальные векторы скорости не лежат в одной плоскости , то и будущие положения, очевидно, не будут лежать в одной плоскости. Например, космический корабль, вращающийся вокруг планеты в направлении, ортогональном направлению движения планеты, будет следовать по спирали в пространстве.

Дело не в том, что гравитация возникает в плоскости. Это то, что система из двух тел вращается в плоскости. Это можно довольно легко увидеть с помощью лагранжевой механики. Рассмотрим движение тела в плоскости. Положение тела в этой плоскости имеет смещения

$$d\vec x~=~\hat rdr~+~\hat\theta rd\theta.$$ Единичные векторы $\hat r$и $\hat\theta$полярные координаты на плоскости. Скорость $\vec v~=~d\vec x/dt$определяет квадрат скорости $v^2~=~\dot r^2~+~r^2\dot\theta^2$. Для задачи гравитации имеем $${\cal L}~=~\frac{1}{2}m(\dot r^2~+~r^2\dot\theta^2)~+~\frac{GMm}{r}$$ Имеются два уравнения Эйлера-Лагранжа для двух независимых координат $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial{\cal L}}{\partial r}\right)~-~\frac{\partial{\cal L}}{\partial r}~=~0~=~m\ddot r~-~mr\dot\theta^2~+~\frac{GMm}{r^2}$$ и $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial{\cal L}}{\partial\theta}\right)~-~\frac{\partial{\cal L}}{\partial\theta}~=~0~=~mr\ddot\theta.$$ Последний из них с $mr\ddot\theta~=~0$дает уравнение постоянного движения $$mr^2\dot\theta~=~L~=~constant.$$ Это постоянство углового момента. Сохранение углового момента - это то, что заставляет две орбиты тела лежать на плоскости. Это также позволяет нам записать лагранжиан в виде $${\cal L}~=~\frac{1}{2}m\dot r^2~+~\frac{L^2}{2mr^2}~+~\frac{GMm}{r},$$ где член углового момента дает эффективный потенциал, противоположный радиальному направлению силы тяжести. Это также означает переменную $r$и $\theta$не являются независимыми, как это наблюдал Кеплер. Тогда динамическое уравнение $$\ddot r~-~\frac{L^2}{2mr^3}~+~\frac{GM}{r^2}~=~0$$