Второй закон Кеплера подразумевает, что угловой момент постоянен?

Question

Второй закон Кеплера подразумевает, что угловой момент постоянен?

Ша Вуклия

В моем учебнике говорится, что из второго закона Кеплера мы можем сделать вывод, что угловой момент планеты сохраняется, и, следовательно, гравитация является центральной силой.

Теперь я понимаю, как постоянный угловой момент подразумевает, что гравитация является центральной силой. Однако я не понимаю, откуда мы знаем, что угловой момент сохраняется, основываясь на втором законе Кеплера.

Мой учебник описывает второй закон Кеплера следующим образом:

\int_{т_{1}}^{т^{2}} р в_{ф} д т "=" С \int_{т_{1}}^{т_{2}} д т "=" С (т_{2} - т_{1}),

$\int_{t_1}^{t^2}rv_\phi\,\mathrm dt=C\int_{t_1}^{t_2}\mathrm dt=C(t_2-t_1),$ где

C

$C$ является константой.

Мы видим, что $rv_\phi=r^2\dot\phi=C$ . Мы также знаем, что $|\vec{L}|=|\vec{r}\times\vec{p}|=rmv\sin\theta=mr^2\omega\sin\theta.$

Правильно, так что мы можем предположить $m$ постоянна, и $r^2\omega$ также по второму закону Кеплера. Как насчет $\theta$ хотя? Откуда нам знать $\theta$ постоянно?

Для круговых орбит я вижу, что $\theta=\frac{1}{2}\pi$ , а как насчет эллиптических орбит?

РЕДАКТИРОВАТЬ

Ладно, думаю, я понял. Мы рассматриваем твердый объект (планету), вращающийся вокруг фиксированной оси вращения, поэтому технически мы должны использовать $\vec L=I\vec\omega$ . Но я предполагаю, что мы можем аппроксимировать момент инерции планеты как $mr^2$ , учитывая пространственные измерения, с которыми мы работаем. И поэтому мы получаем $|\vec L|=I|\vec \omega|=mr^2\omega=$ постоянный. Учитывая, что планета не «поворачивается» внезапно, мы также можем предположить направление $\vec \omega$ будучи постоянным.

Абхиджит Мелкани

v

$v$ не равно

r ω

$r\omega$ . Есть также радиальная составляющая скорости. Вы были правы до предпоследнего шага. После этого я предлагаю вам нарисовать две составляющие вектора скорости. Один в направлении положения и один перпендикулярно. Параллельная составляющая уравновешивается в векторном произведении, а перпендикулярная составляющая равна

r ω

$r\omega$ (нет

s i n θ

$sin\theta$ здесь, потому что эта компонента точно перпендикулярна).

Ша Вуклия

@A.Melkani Аааа, отлично! Удивительно, большое спасибо. Итак, мы получаем:

| \vec{л} | "=" м | \vec{р} \times \vec{в} | "=" м | \vec{р} \times [{\vec{в}}_{ф} + {\vec{в}}_{р}] | "=" м | \vec{р} \times {\vec{в}}_{ф} | + м | \vec{р} \times {\vec{в}}_{р} | "=" м | \vec{р} \times {\vec{в}}_{ф} | "=" м р в_{θ} "=" м р^{2} ю

$|\vec L|=m|\vec r\times\vec v|=m|\vec r\times[\vec v_\phi+\vec v_r]|=m|\vec r\times\vec v_\phi|+m|\vec r\times\vec v_r|=m|\vec r\times\vec v_\phi|=mrv_\theta=mr^2\omega$

Абхиджит Мелкани

Да и на самом деле

C

$C$ сам по себе

r^{2} ω

$r^2\omega$ как вы правильно заметили. Итак, угловой момент равен

m * C

$m*C$ которая сохраняется, поскольку обе эти величины сохраняются.

Ответы (2)

Второй закон Кеплера подразумевает, что угловой момент постоянен?

$v$ не равно $r\omega$ . Есть также радиальная составляющая скорости. Вы были правы до предпоследнего шага. После этого я предлагаю вам нарисовать две составляющие вектора скорости. Один в направлении положения и один перпендикулярно. Параллельная составляющая уравновешивается в векторном произведении, а перпендикулярная составляющая равна $r\omega$ (нет $sin\theta$ здесь, потому что эта компонента точно перпендикулярна).
@A.Melkani Аааа, отлично! Удивительно, большое спасибо. Итак, мы получаем: $| \vec{л} | "=" м | \vec{р} \times \vec{в} | "=" м | \vec{р} \times [{\vec{в}}_{ф} + {\vec{в}}_{р}] | "=" м | \vec{р} \times {\vec{в}}_{ф} | + м | \vec{р} \times {\vec{в}}_{р} | "=" м | \vec{р} \times {\vec{в}}_{ф} | "=" м р в_{θ} "=" м р^{2} ю$ $|\vec L|=m|\vec r\times\vec v|=m|\vec r\times[\vec v_\phi+\vec v_r]|=m|\vec r\times\vec v_\phi|+m|\vec r\times\vec v_r|=m|\vec r\times\vec v_\phi|=mrv_\theta=mr^2\omega$
Да и на самом деле $C$ сам по себе $r^2\omega$ как вы правильно заметили. Итак, угловой момент равен $m*C$ которая сохраняется, поскольку обе эти величины сохраняются.

Диракология · Answer 1

Второй закон Кеплера гласит, что радиус-вектор от Солнца к планете проходит равные площади за равные промежутки времени. Другими словами, скорость изменения $\frac{dA}{dt}$ постоянно. Рассмотрим рисунок ниже,

Элемент are $dA=\frac{1}{2}r^2d\theta$ так в промежутке времени $dt$ у нас есть

\frac{д θ}{д т} "=" \frac{2}{р^{2}} \frac{д А}{д т},

$\frac{d\theta}{dt}=\frac{2}{r^2}\frac{dA}{dt},$ С другой стороны, величина углового момента (относительно

O

$O$ ) является

L = m r^{2} \dot{θ}

$L=mr^2\dot\theta$ . Таким образом,

л "=" 2 м \frac{д А}{д т},

$L=2m\frac{dA}{dt},$ который является постоянным.

Однако это не доказывает, что вектор $\vec L$ постоянно. Чтобы доказать, что вектор не меняет своего направления, нужно принять либо первый закон Кеплера (из которого следует, что орбита лежит в плоскости), либо что сила является центральной (что автоматически подразумевает сохранение углового момента).

Дэвид Хаммен · Answer 2

Мой учебник описывает второй закон Кеплера следующим образом:
$\int_{т_{1}}^{т^{2}} р в_{ф} д т "=" С \int_{т_{1}}^{т_{2}} д т "=" С (т_{2} - т_{1}),$ $\int_{t_1}^{t^2}rv_\phi\,\mathrm dt=C\int_{t_1}^{t_2}\mathrm dt=C(t_2-t_1),$ где $C$ является константой.

Уже одно это говорит о том, что величина углового момента постоянна.

Ваш учебник $v_\phi$ — составляющая вектора скорости, нормальная к радиальному вектору: $\vec v = v_r \hat r + v_\phi \hat \phi$ . Таким образом $\vec L = m \vec r \times \vec v = m r v_\phi\,\hat r \times \hat \phi$ . С тех пор $||\hat r \times \hat \phi|| \equiv 1$ , величина вектора углового момента планеты равна $||\vec L|| = m r v_\phi$ . Так как масса постоянна и так как $\int_{t_1}^{t_2} r v_\phi dt = C(t_2-t_1)$ , величина вектора углового момента постоянна.

Чтобы прийти к постоянному вектору углового момента, нам нужно знать, что его направление также постоянно. Это следствие того, что орбиты плоские, что является частью первого закона Кеплера.

Второй закон Кеплера подразумевает, что угловой момент постоянен?

Ша Вуклия

Абхиджит Мелкани

Ша Вуклия

Абхиджит Мелкани

Ответы (2)

Диракология

Дэвид Хаммен

Сохранение углового момента против закона Кеплера

Как ньютоновская механика объясняет, почему объекты, находящиеся на орбите, не падают на объект, вокруг которого они вращаются?

Второй закон Кеплера подразумевает, что постоянная скорость

Откуда берется угловой момент Солнечной системы? [дубликат]

Появление нашей Солнечной системы

Почему эта планета (J1407 b) и кольцо Сатурна расположены на экваторе? [дубликат]

Гравитация и угловой момент

Как доказать, что Гравитация происходит в одной плоскости?

Задача Кеплера во времени: как движутся две гравитационно притягивающиеся частицы? [дубликат]

Почему все планеты Солнечной системы вращаются примерно в одной и той же двумерной плоскости?