Как другие цивилизации могут открыть иррациональные числа

Первым числом, оказавшимся иррациональным в нашем мире, был предположительно квадратный корень из 2. Я знаю, что иррациональность π, вероятно, недосягаема для цивилизации, которая вообще не открыла иррациональность, и е, вероятно, требует пределов, чтобы даже понять , но есть ли другие легкодоступные иррациональные числа, на которые могла наткнуться цивилизация до квадратного корня из 2? Как бы они столкнулись с иррациональностью этого числа до корня 2? Я бы поставил немного денег на золотое сечение, но я не могу быть уверен, и я не могу придумать механизм

Так же легко показать, что 5 иррационально, поскольку это должно показать, что 2 иррационально. (И, среди прочего, ф "=" ( 1 + 5 ) / 2 есть отношение диагонали правильного пятиугольника к длине стороны, точно так же, как 2 отношение диагонали квадрата к длине его стороны).
... И, конечно, столь же легко показать, что 3 иррационально, и оно могло происходить из отношения между высотой равностороннего треугольника и длиной стороны.
@AlexP 3 также является отношением диагонали тела куба к длине его стороны.

Ответы (3)

Через различия между сходящимися рядами

Я думаю, что это довольно сложный вопрос, чтобы ответить на него с тегом точных наук, но вот мои два цента.

Таким образом, пифагорейцы до Гиппапа из Метапонта считали, что все числа могут быть выражены как рациональные, пока Гиппап не доказал обратное согласно Википедии . (Извините за плохую ссылку, но я не могу читать по-древнегречески) Очевидно, есть некоторые дискуссии о том, был ли он первым, но временные рамки относительно те же.

Здесь важно то, что сегодня мы называем это иррациональностью квадратного корня из 2, но это было сделано в чистой геометрии. Примеры см. в разделе Элементы геометрии Евклида. Так что для доказательства иррациональности вам не нужна алгебра. Поскольку большинство доказательств вращается вокруг логического доказательства противоречия, делая стороны одновременно четными и нечетными, у вас есть некоторые предпосылки.

Вам нужно общество со знанием логических доказательств, особенно противоречий, и обозначениями четных и нечетных чисел. Кроме того, вероятно, было бы полезно, если бы ваше общество ошибочно полагало, что все числа рациональны и что у вас есть какая-то маленькая неделимая единица в качестве основы чисел.

Помимо геометрического доказательства, я думаю, что подобное доказательство можно было бы сделать с помощью сравнений сходящихся рядов. Это предположение, но я думаю, что можно было бы сделать что-то вроде парадокса Зенона, чтобы доказать, что числа могут быть иррациональными. Поиск доказательства того, что не все числа рациональны таким образом, кажется вполне логичным, поскольку вы уже имеете дело со все более мелкими рациональными числами.

Загружает больше квадратных корней

Если вы открыли теорему Пифагора, то вы столкнетесь со многими иррациональными числами в качестве гипотенуз.

Начертите прямоугольный треугольник с целыми числами длин сторон а , б а гипотенуза имеет длину а 2 + б 2 . Это число обычно, но не всегда, иррационально.

Я не думаю, что Пифагор знал алгебру. Я думал, что он привел «оригинальный» аргумент в пользу пифагорейских троек исключительно в терминах геометрии.
@DJKlomp Я не знаю о Пифагоре, но у элементов Евклида есть а 2 + б 2 "=" с 2 версия теоремы, записанная устно в терминах длин сторон.
Извините, но, как было сказано, у древних греков была не алгебра, а геометрия. Их доказательства в геометрии выглядели совершенно иначе и обычно переводятся в нашу современную алгебру. Если вы имеете в виду «Элементы геометрии» Евклида, книга 1, предложение 47 (стр. 46-47). ([Это перевод, который я нашел:] [ farside.ph.utexas.edu/books/Euclid/Elements.pdf] , я не думаю, что в книге есть одно квадратное число, тем более в предложении 47. Вызов словесно написанный квадрат, то же самое, что и значение во второй степени, на мой взгляд, является скачком и далек от чего-либо, напоминающего квадратный корень.
@DJKlomp Да, вторая степень сильно отличается от квадратного корня.

Как уже упоминалось, стандартное доказательство того, что 2 иррационально работает так же хорошо для 3 , 5 , ... так что ваша цивилизация скорее всего задумалась бы 2 во-первых, так как он, естественно, стоит первым в последовательности.

Единственный другой вероятный кандидат, который я мог представить в качестве «первого иррационального», потребовал бы гораздо большего воображения, чтобы представить его: − 1 .

Но у него есть доказательство, которое можно было бы считать более простым или, по крайней мере, немного другим:

Предполагать − 1 были рациональны. Это значит, что

− 1 "=" п д
для некоторых целых чисел п , д . Возводя в квадрат обе части и очищая знаменатели, получаем − д 2 "=" п 2 . То есть, п 2 + д 2 "=" 0 .

Это решаемо только в целых числах с помощью п "=" д "=" 0 , но это решение неприемлемо, т.к. д является знаменателем и должен быть ненулевым.

− 1 не является иррациональным числом. (По крайней мере, это не иррациональное число в нашей математике и в любой математике, которая имеет смысл . )
@AlexP Похоже, ты не знаешь, что такое рациональное число. К счастью, я указал это в ответе. Прочтите внимательно. Иррациональное число – это число, которое не является рациональным числом.
@Priska Вы могли бы определить это так, но это противоречит тому, как оно определяется и используется во всем мире: иррациональное число - это любое действительное число, которое не является рациональным числом.
@Priska Не играйте в словесные игры. Официальное определение, которое преподают на курсах математики, состоит в том, что иррациональные числа - это любые действительные числа, которые не являются рациональными. Есть большая разница между этим и «это не рационально, значит, это иррационально».
@Muschkopp OP задает этот вопрос в контексте первых встреч с экзотическими числами. Я бы не стал предполагать, что он использует слово «иррациональный» в соответствии с современными обычаями, если только он сам об этом не говорит. Открытие первого иррационального произошло за тысячи лет до того, как было определено реальное. Я оставлю это для уточнения OP.
Я просто не уверен, как цивилизация скучает 2 и врезается в я во-первых, если только все их математические познания не являются второстепенными, как в серии Брина « Восхождение» , где галактисты считают иррациональные числа причудливой особенностью человечества.
@notovny Это не тот порядок, в котором я бы хотел обнаружить что-то, но ОП запрашивает правдоподобные альтернативные варианты того, как что-то могло произойти, и он не хочет использовать ограничения. Простых чисел, соответствующих этому критерию, не так много, и − 1 является одним из самых близких, о которых я могу думать.
Как другие цивилизации могут открыть иррациональные числа
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v