Как энергия зависит от частоты в цепи переменного тока?

Рассмотрим только отдаваемую мощность:

$$P(t) = U(\omega t') I(\omega t')$$ Рассмотрим простой случай $U(t')=U_0\sin(\omega t')$и $I(t')=I_0\sin(\omega t')$. Тогда отдаваемая мощность равна $$P(t) = U_0 I_0\sin^2(\omega t)$$ $$={ U_0 I_0\over 2}\{1-cos(2\omega t)\}$$

Мы можем разбить это на два термина:

$$P_{DC}={U_0 I_0\over 2}$$ и $$P_{2\omega} = { U_0 I_0\over 2}cos(2\omega t)$$

$P_{DC}$представляет собой среднюю мощность, вытекающую из нашего источника питания. Это$\propto$напряжение и ток. Поскольку она постоянна во времени, доставляемая энергия возрастает линейно во времени. То есть, чем дольше мы держим наше устройство подключенным к нашему источнику питания, тем больше энергии ему доставляет источник питания.

$P_{AC}$не дает полезной мощности. Для половины$2\omega$цикла, он сбрасывает некоторую дополнительную мощность, в то время как другая половина извлекает дополнительную сбрасываемую мощность. Это отражение того факта, что ток и напряжение не являются постоянными, а на самом деле изменяются синусоидально и только доставляют$P_{DC}$в среднем.

И да, если интегрировать$P(t)$получить$E(t)$вы увидите$1/\omega$термин в ответ. Я оставлю это вам подумать, почему. Подсказка: пиковая мощность на более высоких частотах длится не так долго, как на более низких частотах.

Обратите внимание, что ваша формула

$$E=\int P(\omega,t) dt=\int U(\omega,t) I(\omega,t) dt$$ можно переписать как

$$E=\int U(\omega,t) I(\omega,t) dt=\int\frac{U^2(w,t)}{Z}dt$$ Теперь позвольте $U=U_0\sin(wt)$и $Z=const$что разумно в течение короткого периода времени $t$.Таким образом:

$$E=\frac{1}{Z}\int_0^{t} U^2(w,t)dt=\frac{U_0^2}{Z}\int_0^{t} \sin^2(w,t)dt$$ Следующий:

$$\int_0^{t} \sin^2(w,t)dt=\frac{t}{2}-\frac{\sin(2wt)}{4w}$$ Так что если $w\rightarrow\infty$, затем $E$не зависит от $w$.

Изменить: Дополнения:

Чтобы быть более точным, импеданс цепи$Z$зависит от частоты как

$$Z=\sqrt{r(w)^2+\left ( wL-\frac{1}{wC}\right)^2}$$ где $L$полное сопротивление цепи и $C$емкость цепи и $r$это сопротивление, которое зависит также от $w$за счет скин-эффекта.

Это значит$Z \rightarrow wL$как$w\rightarrow\infty$если$L\neq 0$

Итак, ответ, более близкий к реальности, заключается в том, что

$$E=\frac{U_0^2}{wL}\frac{t}{2};w\rightarrow\infty$$

Если у вас есть схема со статическими элементами (например, комбинация резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности), то для

$$U(t) = U_0 \sin(\omega t)$$

у вас есть

$$I(t) = I_0 \sin(\omega t + \phi)$$ .

Вы получаете$I_0$и$\phi$от комплексного импеданса$Z(\omega)$:

$$I_0 = \frac{U_0}{|Z|}, \tan \phi = \left(\frac{\text{Im}(Z)}{\text{Re}(Z)}\right).$$

Вы также можете наблюдать напряжение и ток как комплексные числа:

$$U(t) = U_0 e^{i\omega t}, I(t) = I_0 e^{i\omega t}, U_0 = Z I_0$$

РЕДАКТИРОВАТЬ: Если вас интересует только термин$\omega^{-1}$, использовать$T_0$вместо$\omega$:

$$U(t) = U_0 \sin(\frac{2 \pi t}{T_0})$$

у вас есть

$$I(t) = I_0 \sin(\frac{2 \pi t}{T_0} + \phi)$$ .

Вы получите выражение, что энергия пропорциональна$T_0$. Это только говорит вам о том, что энергия меньше, потому что время, за которое она была передана, меньше.