Нерезонансные, но эффективные частоты

Это тонкий вопрос! Ваша интуиция верна (движение на$f_0/2$должно быть очень эффективным), хотя график, кажется, противоречит этому. Причина в том, что график отображает реакцию на синусоидальную движущую силу. Если вы действительно водили массу по синусоиде с частотой$f_0/2$, это действительно было бы неэффективно — вы бы держались за массу и пытались заставить ее двигаться вдвое медленнее, чем она хочет.

Однако вы предлагаете силы, которые выглядят как резкие импульсы, где импульсы приходят с частотой$f$. Такая сила на самом деле имеет бесконечное число гармоник на частотах$f$,$2f$,$3f$и так далее, так что это в некотором смысле эквивалентно вождению с бесконечным количеством синусоид одновременно.

Чтобы интуитивно понять, почему, попробуйте услышать, как кто-то хлопает в ладоши несколько раз в секунду. Поскольку частота хлопков довольно низкая, вы можете подумать, что звук будет низким, но на самом деле он звучит довольно высоко — из-за множества гармоник, создаваемых при каждом отдельном хлопке.

Именно эти гармоники слушает масса, когда едешь на частоте$f_0/n$. Масса наиболее чувствительна к$n^\text{th}$гармонический, так как имеет резонансную частоту$n(f_0/n) = f_0$. Более подробный анализ (т. е. преобразование Фурье повторяющегося короткого прямоугольного импульса) показывает, что управление импульсами с частотой$f_0/n$почти так же эффективно, как вождение импульсами с частотой$f_0$, если демпфирование низкое и импульсы достаточно короткие.

Сначала я попытаюсь объяснить, почему диаграмма зависимости амплитуды от частоты имеет только один максимум, а затем вернусь к тому, почему это противоречит вашей интуиции.

Возьмем простейшую формулу вынужденного осциллятора без демпфирования (это не повлияет на наш вывод), например, пружину, на которую действует сила$F$:

$$\begin{equation} x''(t) + \omega_0^2 x(t) = F(t) \end{equation}$$

Предположим, что$F = F_0 e^{i\omega t}$. Теперь давайте попробуем решить форму$x(t) = Ae^{i\omega t}$. Вводя эти выражения в уравнение, мы находим (после погружения обеих частей на$e^{i\omega t}$):

$$\begin{equation} -\omega^2 A +\omega_0^2 A = F_0 \end{equation}$$

И наконец :

$$\begin{equation} A = \dfrac{F_0}{\omega_0^2-\omega^2} \end{equation}$$

Понятно, что амплитуда$A(\omega)$имеет только один максимум при$\omega_0$вот и все. В пульсациях нет ничего особенного$\omega_n = \omega_0 / n$куда$n$любое целое число. Конечно, существуют резонансные устройства, в которых эти моды также являются резонансными - это случай некоторых резонаторов, например, где резонансными модами являются такие, что отраженные волны конструктивно интерферируют, что может произойти, когда она их захватывает.$n$периоды перемещения с одной стороны полости на другую. Но в линейной пружине или маятнике такого эффекта нет.

Теперь это относится к силе$F$формы$e^{i\omega t}$, что весьма специфично: это означает синусоидальную силу пульсации$\omega$.

Однако в вашем эксперименте$F$не похоже на синусоиду. Она ближе к резкому импульсу, известному как функция Дирака.$\delta$:$F(t) = \delta(t)$. Теперь предыдущий анализ все еще ценен, потому что любая разумная функция$F$имеет то, что мы называем преобразованием Фурье$\tilde{F}$такой, что:

$$\begin{equation} F(t) = \int \tilde{F}(\omega) e^{i\omega t} d\omega \end{equation}$$ Это означает, что функция $F$можно представить в виде суммы синусоид. Это очень полезно, потому что уравнение движения принимает очень простую форму, когда записано в пространстве Фурье: $$\begin{equation} \tilde{x}(\omega) = \dfrac{\tilde{F}(\omega)}{\omega_0^2 - \omega^2} \end{equation}$$

Теперь, когда$F(t) \simeq \delta (t)$(т.е. очень высоко ценится около$t=0$при воздействии импульса и 0 в противном случае) преобразование Фурье является постоянной функцией. Это означает, что очень короткий импульс содержит все частоты, включая резонансную частоту. Итак, в конце концов, поскольку$\tilde{F}(\omega) = cst = F_0$:

$$\begin{equation} x(t) \sim F_0 \int \dfrac{e^{i\omega t}}{\omega_0^2 - \omega^2} d\omega \end{equation}$$ Совершенно очевидно, что преобладают частоты около резонансной частоты, и мы имеем примерно: $$\begin{equation} x(t) \propto e^{i\omega_0 t} \end{equation}$$

Итак, в конце концов, поскольку импульс «содержит» каждую частоту, он также содержит резонансную частоту, эффект которой преобладает.

Детали, которые они не описывают в учебниках физики, но которые вы, вероятно, узнаете из инженерного опыта, заключаются в том, что резонанс зависит не только от внутренней структуры системы, но и от того, как энергия поступает и выходит. Резонансная система имеет тенденцию улавливать энергию, и эта энергия может или не обязательно может быть допустимой на резонансной частоте системы. Это зависит от внутренней структуры.

Хотя более распространенным средством передачи энергии для замаха является толчок цикл за циклом в одном направлении, также возможно, чтобы человек впереди также выполнял толчок, чтобы скорость поступления энергии в систему удваивалась. Каждый вход имеет одинаковую амплитуду, но на 180 градусов не совпадает по фазе друг с другом. Вы показываете только амплитудно-частотную характеристику вашей качающейся (маятниковой) системы, но есть также фазовая составляющая, и это иллюстрирует, как работает толчок на 180 градусов вне фазы. Фазовый график ниже показывает, что приближение с более низкой частоты к околонулевому фазовому сигналу допустимо, а приближение с высокой частоты - на 180 градусов. Изменение фазы в резонансе очень резкое, когда система имеет высокую добротность (очень малое демпфирование, очень низкие потери энергии).

Для практических целей система качелей зависит от подшипников качелей и сил сопротивления в какой-то момент для достижения потока энергии, который равен и противоположен скорости поступления энергии от толчка. В противном случае свингер в конечном итоге зациклится! В принципе, для линейных систем нулевое затухание означает, что вся энергия, поступающая в систему, остается там, а резонансный пик приближается к бесконечной амплитуде. Но для практических реальных систем существуют нелинейности, которые ограничивают захват энергии. Энергия имеет тенденцию находить выход, иногда разрушая систему (например, обрушение Такомского узкого моста).

Для качающейся системы структура такова, что уровень энергии и фаза (в случае толкания двух человек) должны быть конкретными, но это не обязательно верно для всех резонансных систем. Рассмотрим поющий жезл , который часто используется в демонстрациях по физике резонанса. Энергия в этом случае обеспечивается скользящим трением между покрытыми канифолью пальцами и поверхностью стержня; по существу широкополосные окрашенные шумовые колебания, поступающие на поверхность стержня. В этом случае внутренняя структура стержня отфильтровывает и концентрирует энергию входного шума на собственной частоте стержня. Стержень пропускает и улавливает только узкую полосу входного возбуждения. Оставшаяся полоса частот в основном рассеивается в виде тепла на поверхности стержня.