Как формулируется закон сохранения энергии для электромагнитных волн?

Я думаю, что путаница здесь намного проще. Попросите друга хлопнуть в ладоши раз в секунду и встаньте рядом. Каждую секунду вы будете слышать хлопок, за которым следует тишина. Это означает, что энергия звуковых волн в вашем ухе будет увеличиваться каждую секунду, а затем падать. Означает ли это, что энергия «появляется и исчезает»? Конечно, нет; это просто проходит мимо.

Аналогично для плоской электромагнитной волны поля колеблются в пространстве,

$$E(x, t) \propto B(x, t) \propto \cos(kx-\omega t)$$ что означает, что в каждый момент распределение энергии выглядит как $\cos^2(kx - \phi)$для некоторой фазы $\phi$. То есть энергия волн поступает правильными порциями, точно так же, как энергия звуковых волн, которые издает ваш хлопающий в ладоши друг. (Эти сгустки не имеют абсолютно никакого отношения к фотонам.) Тогда плотность энергии в точке, конечно, может увеличиваться и уменьшаться по мере прохождения сгустков.

Энергия электромагнитного поля в объеме$V$дан кем-то

$$U=\iiint_{V}\left(\frac{\varepsilon_{0}|E|^2}{2}+\frac{|B|^2}{2\mu_{0}}\right)dV$$ а вектор Пойнтинга определяется как $$\vec{S}=\frac{\vec{E}\times\vec{B}}{\mu_{0}}$$ Это не среднее значение, а зависящая от времени величина, которая кодирует поток энергии электромагнитного поля. Тогда закон сохранения энергии является утверждением $$\frac{\partial U}{\partial t}=-\iint_{\partial V}\vec{S}\cdot\vec{dA}$$ что означает, что изменение энергии полей в объеме $V$сопровождается притоком в\из этого объема. Это уравнение справедливо для всех времен и описывает мгновенные значения, а не средние значения.

Сохранение здесь — это утверждение об изменениях , а не просто о значениях в данный момент времени. Таким образом, оба поля могут исчезнуть одновременно, если они появляются где-то еще или в каком-то смысле обладают «инерцией». То же самое происходит и со струной: в некоторые моменты времени она плоская, но имеет энергию в виде ненулевой скорости.

Точное понятие сохранения в теории поля дается понятием сохраняющегося тока , то есть тензора$j^\mu$удовлетворяющий

$$\partial_\mu j^\mu=0$$

Интегрируя это уравнение и используя теорему Стокса, вы получаете

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_V j^0\mathrm dV=\int_{\partial V} j^i\mathrm d\sigma_i$$ что говорит вам о том, что изменение интегральной плотности во времени $j^0$равен потоку $\boldsymbol j$выход из интеграционного объема. В этом и только в этом смысле теоретико-полевой ток $j^\mu$законсервированный.

Это понятие сохранения называется локальным . Глобальный закон сохранения просто говорит вам, что общее количество чего-то не меняется во времени; локальный закон сохранения, с другой стороны, гораздо более строгий: он говорит вам, что он сохраняется в каждой области пространства. Если, например, из ничего возникнет электрический диполь, то это будет удовлетворять глобальному закону сохранения заряда, а не локальному. Но природа сохраняет заряд локально, поэтому такое явление запрещено законами физики. Это прекрасно подчеркивает Фейнман в своей лекции .

В случае сохранения энергии ток представляет собой так называемый тензор энергии-импульса,$T^{\mu\nu}$, где$T^{00}$следует рассматривать как плотность энергии, и$T^{0i}$как поток энергии через поверхность, ортогональную$x^i$.

В случае вакуумной электродинамики

$$T^{\mu \nu} = \frac{1}{\mu_0} \left( F^{\mu \alpha} \eta_{\alpha \beta} F^{\nu \beta} - \frac{1}{4} \eta^{\mu \nu} F_{\delta \gamma} F^{\delta \gamma} \right)$$ и его сохранение, как легко видеть, является прямым следствием уравнений Максвелла. Таким образом, электромагнитная энергия любой системы сохраняется локально: она сохраняется в каждой области пространства, независимо от ее размера и содержания. См. также этот пост PSE .

У меня были те же мысли, когда я смотрел на электромагнитное поле независимо от его источника:

где сами поля уменьшаются до нуля в соответствующие моменты времени из-за частоты. Имейте в виду, что вектор Пойнтинга получается как сохранение энергии между генерирующими зарядами и электромагнитными волнами .

Изменить после прочтения ответа knzhou :

Если в анимации мы возьмем область, перпендикулярную бегущей волне, мы увидим, что энергия в этой области распространяется со скоростью c, а синусоидальное изменение энергии последующих плоскостей зависит от того, как генерирующие заряды создали волну как функция времени.

Это становится ясным в квантовой системе координат, где можно показать , что электромагнитное поле возникает в результате суперпозиции огромного ансамбля фотонов.

Существует волновая функция, описывающая фотон.

Суперпозиция (заметьте, не взаимодействие) этих волновых функций создает функции электрического и магнитного поля, показанные на анимации выше. В области, перпендикулярной направлению волны, энергия фотонов распространяется со скоростью с. Энергия переносится отдельными фотонами в виде h*nu, проявление полей E и B представляет собой суперпозицию всех волновых функций фотонов в этой области (на самом деле, по неопределенности Гейзенберга, это должен быть объем, но не будем усложнять его еще больше) . Следующие области могут иметь различную энергию.

Мне нравится эта иллюстрация того, как фотоны могут создавать поляризованную электромагнитную волну, мне помогают визуализации.