Как интерпретируется нулевая вероятность в физике?

Question

Как интерпретируется нулевая вероятность в физике?

Манас Догра

Невозможность события означает исчезновение его вероятности. Но обратное неверно. Этот пост в сообщениях обмена математическими стеками говорит, почему нулевая вероятность не обязательно означает невозможные события. Тогда почему мы поступаем так в физике, т. е. как исчезающая вероятность необходима и достаточна для невозможности события в физике?

Например, вероятность выбора определенного действительного числа из множества всех действительных чисел равна нулю, но если кто-то действительно выберет это самое число, то окажется, что это событие не было на самом деле невозможным...

Точно так же можно ли найти частицу, у которой волновая функция тождественно равна нулю? Я имею в виду, что всякий раз, когда мы интегрируем квадрат модуля волновой функции в каком-то интервале и получаем, что результат точно равен нулю, мы интерпретируем это как невозможность того, чтобы частица находилась в области интегрирования. Верна ли эта интерпретация? Если да, то почему? Если нет, то как мы должны правильно интерпретировать нулевую вероятность вообще в физике?

Шай Горовиц

Вы когда-нибудь получали 0 от интеграции или что-то очень близкое к 0?

Ядерная халтура

Я не могу вспомнить пример, в котором событие с очень малой (но не равной нулю) вероятностью можно было бы назвать невозможным. Это очень маловероятно, и вы можете никогда не наблюдать этого в своей жизни, но ненулевая вероятность означает, что это произойдет в некотором конечном числе испытаний.

Манас Догра

@shaihorowitz Я хочу интерпретировать результаты, когда интеграция дает ровно нулевые результаты.

Манас Догра

@NuclearHoagie Я удалил это вводящее в заблуждение предложение.

Томас

Предполагая точечные массы, плотность вероятности найти атомный электрон в начале координат (ядре) должна быть точно равна нулю, иначе у вас была бы бесконечная кулоновская сила. По этой причине кулоновская волновая функция равна нулю в начале координат. Вы даже не могли бы выбрать начало координат в качестве возможного местоположения электрона, если бы захотели.

Манас Догра

@Thomas, так что это означает, что вероятность равна нулю, но это не должно означать, что мы не найдем там частицу математически. Но нам так говорят... Почему?

Манас Догра

Тесно связано: physics.stackexchange.com/q/145166

Иван Веленик

Вероятность 0 следует интерпретировать не как невозможность возникновения, а скорее как невозможность предсказания. Нельзя угадать, каким будет результат события с вероятностью 0 (сделать такой прогноз «всегда» не удастся).

Манас Догра

@Иван Веленик Спасибо. ваш комментарий точно отвечает на мой вопрос. Но я буду искать более подробный ответ, если он вообще есть.

Томас

@ManasDogra Вы не найдете электрон в центре атома. Это математически исключено, так как это дало бы бесконечную силу. Волновые функции имеют нулевую вероятность в другом месте (в основном, в узлах волны), но здесь это физически труднее аргументировать.

Томас

@YvanVelenik Невозможность предсказания означает равную вероятность везде, а не 0 вероятность

Иван Веленик

@Thomas: ты неправильно понял мой комментарий. Рассмотрим гауссово распределение вероятностей по реальной линии. Выберите свой любимый номер, а затем выберите его случайным образом, используя это распределение: они (почти наверняка) не совпадут. Это в том смысле, что вы не можете предсказать результат. Вы «никогда» не угадаете.

Иван Веленик

@Thomas: Это не связано с тем, что распределение равномерное, а с тем, что оно абсолютно непрерывно. На самом деле, если у вас есть равномерное распределение по конечному набору, вы можете предсказать результат с положительной вероятностью: рассмотрим, например, результат честного подбрасывания монеты.

Томас

@YvanVelenik На самом деле нет однородных распределений. Гауссовы и другие функции распределения представляют собой непрерывные математические функции, которые аппроксимируют некоторые особенности реального (дискретного) распределения. Ваш аргумент основан на признаке, выходящем за рамки этого приближения.

Иван Веленик

@Thomas Вопрос касается интерпретации математического моделирования в физике, поэтому ваша точка зрения спорна. Но в любом случае при описании газа, безусловно, имеет смысл использовать непрерывное распределение. Моя точка зрения (на самом деле это не аргумент) состоит только в том, чтобы предоставить ОП альтернативный способ осмысления значения событий с нулевой вероятностью, и я полностью его поддерживаю.

Ответы (2)

Как интерпретируется нулевая вероятность в физике?

Вы когда-нибудь получали 0 от интеграции или что-то очень близкое к 0?
Я не могу вспомнить пример, в котором событие с очень малой (но не равной нулю) вероятностью можно было бы назвать невозможным. Это очень маловероятно, и вы можете никогда не наблюдать этого в своей жизни, но ненулевая вероятность означает, что это произойдет в некотором конечном числе испытаний.
@shaihorowitz Я хочу интерпретировать результаты, когда интеграция дает ровно нулевые результаты.
@NuclearHoagie Я удалил это вводящее в заблуждение предложение.
Предполагая точечные массы, плотность вероятности найти атомный электрон в начале координат (ядре) должна быть точно равна нулю, иначе у вас была бы бесконечная кулоновская сила. По этой причине кулоновская волновая функция равна нулю в начале координат. Вы даже не могли бы выбрать начало координат в качестве возможного местоположения электрона, если бы захотели.
@Thomas, так что это означает, что вероятность равна нулю, но это не должно означать, что мы не найдем там частицу математически. Но нам так говорят... Почему?
Тесно связано: physics.stackexchange.com/q/145166
Вероятность 0 следует интерпретировать не как невозможность возникновения, а скорее как невозможность предсказания. Нельзя угадать, каким будет результат события с вероятностью 0 (сделать такой прогноз «всегда» не удастся).
@Иван Веленик Спасибо. ваш комментарий точно отвечает на мой вопрос. Но я буду искать более подробный ответ, если он вообще есть.
@ManasDogra Вы не найдете электрон в центре атома. Это математически исключено, так как это дало бы бесконечную силу. Волновые функции имеют нулевую вероятность в другом месте (в основном, в узлах волны), но здесь это физически труднее аргументировать.
@YvanVelenik Невозможность предсказания означает равную вероятность везде, а не 0 вероятность
@Thomas: ты неправильно понял мой комментарий. Рассмотрим гауссово распределение вероятностей по реальной линии. Выберите свой любимый номер, а затем выберите его случайным образом, используя это распределение: они (почти наверняка) не совпадут. Это в том смысле, что вы не можете предсказать результат. Вы «никогда» не угадаете.
@Thomas: Это не связано с тем, что распределение равномерное, а с тем, что оно абсолютно непрерывно. На самом деле, если у вас есть равномерное распределение по конечному набору, вы можете предсказать результат с положительной вероятностью: рассмотрим, например, результат честного подбрасывания монеты.
@YvanVelenik На самом деле нет однородных распределений. Гауссовы и другие функции распределения представляют собой непрерывные математические функции, которые аппроксимируют некоторые особенности реального (дискретного) распределения. Ваш аргумент основан на признаке, выходящем за рамки этого приближения.
@Thomas Вопрос касается интерпретации математического моделирования в физике, поэтому ваша точка зрения спорна. Но в любом случае при описании газа, безусловно, имеет смысл использовать непрерывное распределение. Моя точка зрения (на самом деле это не аргумент) состоит только в том, чтобы предоставить ОП альтернативный способ осмысления значения событий с нулевой вероятностью, и я полностью его поддерживаю.

ZeroTheHero · Answer 1

Квадрат волновой функции $\vert\psi(x)\vert^2$ это плотность вероятности , а не вероятность. Вероятность нахождения системы в небольшом бине шириной $dx$ в центре $x_0$ очень близко $\vert\psi(x_0)\vert^2 dx$ и, таким образом, почти $0$ если $\vert\psi(x_0)\vert^2= 0$ , но точный расчет дает

п "=" \int_{{Икс}_{0} - г Икс / 2}^{{Икс}_{0} + г Икс / 2} г Икс | ψ (Икс) |^{2}

$P=\int_{x_0-dx/2}^{x_0+dx/2} dx \vert\psi(x)\vert^2$ которая будет исчезающе мала, но тем не менее отлична от нуля, даже если

| ψ (x_{0}) |^{2} = 0

$\vert\psi(x_0)\vert^2=0$ так как предположительно будет близкая точка в интервале

[x_{0} - d x / 2, x_{0} + d x / 2]

$[x_0-dx/2,x_0+dx/2]$ где

| ψ (x_{0}) |^{2} \neq 0

$\vert\psi(x_0)\vert^2\ne 0$ точно.

Обратите внимание, что это особенность непрерывных распределений вероятностей, где распределение $0$ в изолированных точках. Если $\vert\psi(x)\vert^2$ точно $0$ на интервале вероятность найти систему на этом интервале точно равна $0$ .

Если вместо этого вы имеете дело с дискретными результатами и, скажем, готовите систему в $\vert \uparrow \rangle$ состояние, есть $0$ и именно $0$ вероятность найти его в $\vert \downarrow \rangle$ состояние.

Итак, вы имеете в виду, что нет никакого физического примера, где $P$ ровно ноль? Другое дело - вы говорите, что если $|\psi(x)|^2$ ровно 0 на интервале, вероятность найти систему в этом интервале точно равна 0. -- Мой вопрос: означает ли эта точная вероятность 0, что мы не найдем частицу в интервале? Почему так?
Может показаться очевидным, что нулевая вероятность означает, что мы не найдем частицу по определению. Но сообщение об обмене математическим стеком и пример в моем вопросе говорят, что это может быть не так ... Нулевая вероятность не может означать невозможность события ... Основная путаница заключается в этом :)
Я думаю, что это как-то связано с почти никогда
@ManasDogra, если это так $0$ на конечном интервале, то в точности $0$ на промежутке: системы вы там вообще не найдете , т.к. $\int dx \vert\psi(x)\vert^2=0$ на интервале. Если это $0$ в одной или нескольких точках отрезка, то $\int dx \vert\psi(x)\vert^2\ne 0$ . Другими словами, интеграл от неотрицательной функции, которая равна нулю в некоторых точках интервала, является не нулем, а интегралом от функции, которая равна нулю. $0$ через интервал $0$ при интегрировании по интервалу.
Да, да, я понял, но мой настоящий вопрос заключается в ИНТЕРПРЕТАЦИИ абсолютно нулевой вероятности события, когда оно происходит... означает ли это, что мы не найдем частицу в интервале? Это не должно быть по крайней мере математически, но часто в физике мы говорим, что частица не будет найдена в этом интервале...
Если плотность вероятности точно $0$ везде на интервале вы никогда не найдете его на этом интервале. Здесь нет толкования. Единственная возможная путаница, если вероятность исчезающе мала (но не совсем $0$ ). В разговорной речи, возможно, некоторые используют исчезающе малый как синоним слова $0$ но они строго не одинаковы.
Почему нулевая вероятность должна означать отсутствие частицы в интервале?... Нулевая вероятность не означает невозможности события.
исчезающе мало не $0$ . Маловероятно , что система будет найдена в интервале, но это не так. $0$ . (должно быть, мы говорим наперекор...). Если есть $0$ вероятность того, что событие не произойдет.
Если это строго $0$ на интервале, то система не может быть найдена в этом интервале. Если ваша система представляет собой электрон, она не может находиться в интервале. «Существование» (что бы это ни значило) электрона в этом интервале невозможно: вы можете провести произвольное количество измерений, и частица никогда не окажется на этом интервале, поэтому вы заключаете, что для системы, подготовленной таким образом, электрон «не существует» на интервале, поскольку вы никогда его там не найдете.
Да, я думаю, что мы говорим о разных вещах... На самом деле я сказал, что исчезающая вероятность (=0) не исчезающе мала... может быть, это звучит как неправильная фраза, поэтому я отредактировал комментарий выше.... Я очень хочу знать о строго нулевой вероятности ... и ваше последнее предложение в приведенном выше комментарии именно поэтому я поместил сообщение об обмене математическим стеком в свой исходный вопрос, в котором утверждается, почему нулевая вероятность не означает невозможность события.
Если плотность вероятности точно $0$ на некотором интервале, то частица почти наверняка будет найдена за пределами этого интервала , что не обязательно означает, что невозможно найти частицу в этом интервале.
На самом деле это не физический вопрос, а скорее математический вопрос о пределах и т. д. Если вы хотите понять эту тему, вам, вероятно, нужно провести некоторое время с нашими братьями-математиками. Вернемся к физике: в случае КМ в пространстве могут быть определенные точки, где вероятность найти частицу равна нулю, но везде отлична от нуля. Если измерительный прибор сообщает положение частицы $x = a$ , это действительно означает $x - \epsilon < x < a + \epsilon$ . т.е. частица находится в какой-то области. Т.е. ваш вопрос не стартовый, так как не имеет физического смысла.
@ZeroTheHero Если в интервале строго 0, то система не может быть найдена в этом интервале . Почему? Почему так получается, что всякий раз, когда вероятность равна нулю, мы не сможем найти систему в интервале? Сандехо разъясняет мою точку зрения
@Sandejo Если это точно $0$ везде на отрезке то почему почти наверняка за его пределами?
@Sandejo, когда я имею в виду плотность точно $0$ Я исключаю точки измерения $0$ .
Почти наверняка означает, что вероятность точно $1$ . Наверняка означает, что событие есть все пространство элементарных исходов, которых вы здесь не знаете.
@Sandejo точка зрения принята, но я не уверен, что в этом обсуждении пространство результатов неизвестно.

Сандехо · Answer 2

В теории вероятностей событие возможно, если оно не пусто. В контексте случайных величин можно сказать, что для случайной величины возможно $\xi$ принять значение $x$ если $\xi(\omega)=x$ для некоторых $\omega\in\Omega$ , где $\Omega$ есть пространство элементарных исходов в вероятностном пространстве, на котором $\xi$ определено.

В физике у нас нет доступа к вероятностным пространствам; у нас есть только распределения вероятностей. Другими словами, если у нас есть некоторая случайная величина $X$ представляющий результат измерения положения частицы в некотором состоянии $\lvert\alpha\rangle$ , можно найти плотность вероятности $X$ к $p_X(x)=\lvert\langle x\vert\alpha\rangle\rvert^2$ , но эта плотность не определяет однозначно случайную величину в вероятностном пространстве, поэтому мы можем рассмотреть $X$ быть любой случайной величиной с этой плотностью. Поэтому на самом деле у нас нет достаточной информации, чтобы сказать, что невозможно найти частицу в узле (точке, где волновая функция обращается в нуль). Однако также важно помнить, что любое измерение, которое вы делаете, будет иметь некоторую ненулевую неопределенность, поэтому на самом деле нет необходимости беспокоиться о том, что отдельные точки имеют нулевую вероятность, поскольку на практике вы действительно можете только измерять, чтобы частица находилась в интервале, а не в конкретной точке.

Следовательно, у нас на самом деле нет достаточной информации, чтобы сказать, что невозможно найти частицу в узле . часто не упоминается в книгах!
Смежный вопрос: может ли быть физическая ситуация, когда волновая функция равна 0 в подынтервале области определения проблемы? Я не могу придумать ни одного, потому что если он равен 0 в каком-то подинтервале, но не везде, то функция должна быть (я думаю) недифференцируемой в точке, где она внезапно перестает быть нулем и, следовательно, имеет неопределенный импульс в этих точках... я прав в этом рассуждении?
@ManasDogra Вы можете сравнить узел волновой функции с узлом классической стоячей волны. А амплитуда и энергия стоячей волны в узле постоянно равна нулю.

Как интерпретируется нулевая вероятность в физике?

Манас Догра

Шай Горовиц

Ядерная халтура

Манас Догра

Манас Догра

Томас

Манас Догра

Манас Догра

Иван Веленик

Манас Догра

Томас

Томас

Иван Веленик

Иван Веленик

Томас

Иван Веленик

Ответы (2)

ZeroTheHero

Манас Догра

Манас Догра

Манас Догра

ZeroTheHero

Манас Догра

ZeroTheHero

Манас Догра

ZeroTheHero

ZeroTheHero

Манас Догра

Сандехо

шаунокан001

Манас Догра

ZeroTheHero

ZeroTheHero

Сандехо

ZeroTheHero

Сандехо

Манас Догра

Манас Догра

Томас